壽春西路橋參數振動分析

楊吉新， 丁 宇， 吳愛平， 張 朝， 余 飛

(武漢理工大學，湖北 武漢 430061)

0 引 言

眾所周知,對于斜拉橋來說,斜拉索是其重要的受力構件。斜拉索可能在微小的外激勵下誘發高幅度振動,是因為其質量輕、柔度大及阻尼小等特點[1]。然而大幅度振動會對損害橋梁結構的安全性能,對其使用壽命也會造成一定影響。在已有的文獻中大部分學者認為,斜拉索發生參數振動的概率與梁體振動激勵頻率有關,當拉索的固有頻率在梁體自振頻率附近的區間時,拉索有很大概率會產生幅度很大的動力響應,此時發生的參數振動被稱為主共振;當2倍的拉索固有頻率處于梁體自振頻率的、附近區間時,拉索也會激發大振幅的動力響應,稱為參數主共振。[2]由此可見,并不是所有拉索都會發生參數振動,拉索能否發生參數共振與其橋的動力特性密切相關,特別是其固有頻率與全橋豎向振動頻率是否匹配。就實際工程而言,構建全橋的振動數值計算模型來分析索結構參數振動的發生概率比較復雜,本文采用多重RITZ向量法對全橋整體振動頻率與模態進行分析。

1 工程背景簡介

壽春西路橋位于安徽省六安市裕安區，包括兩側橋臺在內全長共845m，跨徑布置為3.5m(橋臺)+3×30m(先簡支后連續組合箱梁)+3×30m(先簡支后連續組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續組合箱梁)+(108+70)m(混合梁斜拉橋)+4×30m(先簡支后連續組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續組合箱梁)+4×30m(先簡支后連續組合箱梁)+3.5m(橋臺)。主梁采用鋼-混凝土混合梁，大懸臂展翅箱型截面是其截面形式；壽春西路橋的主塔為無背索斜塔，大幅增加了副塔剛度，改善了副塔受力，減小了變形。斜拉索效率因其布置方式得到充分發揮，同時，對橫向傾角較大而又無橫梁的副塔增大了軸向力，降低了橫向彎矩產生的開裂風險。塔柱為矩形塔，主塔上塔柱高70m，副塔上塔柱高50m，下塔柱高約18.5m。從順橋向看塔柱呈“V”形，從橫橋向看塔柱呈“Λ”形，8 對斜拉索對稱布置于主跨與邊跨。橋型布置圖如圖1所示。

圖1 壽春西路橋布置圖

全橋設置24對共48根斜拉索,分別為M1～M8、S1～S8、B1～B8,其中連接主塔與副塔的是M索,使用的是15.2-12型鋼絞線,錨固于副塔,于主塔頂進行張拉,又被稱為“塔間索”;連接副塔與鋼梁的是S索,使用的是15.2-19 型鋼絞線,錨固于鋼梁,于副塔頂進行張拉;連接副塔與混凝土梁的為B索,使用的是15.2-19 鋼絞線,錨固于混凝土梁,于副塔頂進行張拉。

2 建立參數振動模型

2.1 振動系統的建立

塔索梁耦合振動模型如圖2所示,振動系統由橋塔、斜拉索、梁三個部分組成。在建立振動模型時,將所有因素和條件都列入考慮往往難以實現并且也不合理,為了能夠切實反映斜拉索的振動特性,需要做出以下假設[3]:

圖2 振動模型

(1)只考慮拉索的抗拉剛度;

(2)拉索的重力垂度曲線為拋物線;

(3)拉索受力均勻,變形服從虎克定律;

(4)只考慮拉索平面內振動。

圖2中主要參數定義為:mc為拉索線密度，kg/m;Lb為梁懸臂長度;L表示拉索上下端直線距離;mb為主梁線密度，kg/m;yc為動位移,表示拉索偏離垂度曲線的距離;v0為垂度作用下拉索偏離原位置的距離;mt為副塔質量，kg;kt為副塔側向剛度。

2.2 拉索振動方程的建立

(1)

初始張力T和動張力Td組成T,當靜力平衡時,Td=0,yc=0,拉索的動張力可得:

(2)

由拉索除端部約束外沒有其他外荷載[4]，得:

(3)

式中:H為拉索的靜態軸向拉力。

聯立方程得:

(4)

由基本假定1得,yc可表示為:yc(xc,t)=Yi(t)φi(xc)。式中:Yi(t)為拉索振型;φi(xc)為第i階振型。分析Tagata[5]的研究,本文只考慮拉索的一階振型:

φi(xc)=sin(πxc/L)

(5)

考慮模型的邊界條件:yc(0,t)=Ytsinθ,yc(L,t)=Ybcosθ則:

(6)

拉索的動應力Td可表示為:

為便于數值求解,運用Galerkin法,在區間[0,L]內進行積分[6],求解后化簡得拉索振動的常微分方程如下:

A15Yb+A16Yt=0

(8)

各項系數如下:

2.3 鋼梁振動方程的建立

根據達朗貝爾原理得,混凝土梁的振動方程為:

(9)

式中:EtIt為梁的彎曲剛度;mb為梁的線密度。

分離變量后得到:

yb(xb,t)=φ(xb)Yb(xb)

(10)

(11)

2.4 副塔振動方程的建立

根據達朗貝爾原理得,副塔的動力平衡方程為:

(12)

式中:mt為彈簧塊質量；ct為橋塔結構阻尼；kt為橋塔側向剛度。

將式(7)代入式(12)可得:

(13)

式中各項系數如下:

式中:ηt為橋塔質量塊阻尼,ηt=2ξtωtξt為橋塔質量塊阻尼比;ωt為橋塔質量快的固有頻率,ωt=(ktLc+EA)/mtLc。

將拉索振動方程、鋼梁振動方程、副塔振動方程聯立得:

(14)

3 參數振動可能性分析

3.1 全橋模態分析

運用建模軟件MIDAS-Civil建立壽春西路橋成橋狀態模型,分析比較多種有限元動力分析方法后,最終采用多重Ritz向量法求出全橋前十階豎向振動模態,與拉索固有頻率相比較,列出所有可能發生參數振動的拉索。全橋豎向振動模態分析結果見表1。

表1 全橋豎向振動模態表

3.2 斜拉索基頻計算

表2 拉索參數表

3.3 拉索基頻與全橋振動頻率的關系

當拉索固有頻率落在全橋的振動頻率±5%的區間時[1],斜拉索有很大概率發生大幅度的動力響應,此時的參數振動被稱為主共振;當拉索固有頻率的2倍落在全橋的振動頻率±5%的區間時,拉索也有較大概率誘生大幅度的動力響應,而此時的參數振動稱為主參數共振。對比表1和表2可知,容易發生主共振的拉索有S1、S2、S4、S7、S8;全部S索都易發生主參數共振。

4 數值計算及分析

4.1 參數振動特性

由于非線性高階常微分方程組的復雜與煩瑣,本文采用自適應龍格-庫塔算法編程求解式(14)。通過有限元軟件算得鋼梁和副塔的參數如下:

鋼梁線密度Mb=8.9×105kg/m;

彈性模量Eb=3.45×1010Pa;

慣性距Ib=4.4×103m4;

副塔質量mt=5.76×106kg。

拉索上端對應副塔剛度,通過施加單位荷載求其位移的倒數算得，計算結果見表3。

表3 副塔剛度表

在無阻尼的情況下能更好地反映拉索的參數振動特性,取初始變量Yt=0.001m,Yc=0.001m,Yb=0.001m,求解S6、S7、S8索的參數振動時程曲線。計算結果如圖3所示，圖3a、圖3b分別表示拉索S7前500s、前150s主共振的時程曲線，圖3c、圖3d表示拉索S8前500s、150s主共振的時程曲線,圖3e表示S6前500s主參數共振時程曲線,圖3f表示S6前500s主共振時程曲線。

圖3 時程曲線圖

4.2 結果分析

由圖3可知,在只有0.001m的小振幅激勵下,S7、S8發生了大幅度的主共振,最大振幅達到0.18m左右,前500s時程曲線圖可以看出,S7、S8都體現出了明顯的“拍”的現象,這一非線性現象與理論相符[7]。對比S7、與S8可發現,在前500s時程曲線中,S7完成了大約7.5個“拍”,而S8完成了大約12.5個“拍”,且S8的振幅要略小于S7的振幅。將單位時間內完成“拍”的次數定義為“拍”的頻率,那么不難看出,在初始條件都相同的情況下,如果“拍”的頻率越大,那么其振幅就越小。

觀察圖3e、圖3f可以看出,拉索S6發生了主參數共振,但S6并沒有發生主共振,其振幅很小。該結果表明,它們誘發的條件是相對獨立的。觀察拉索主共振和主參數共振的振幅發現,在初始條件相同的情況下,主參數共振的振幅比主參數振動的振幅要小一些。在相同條件下,拉索S7發生主共振時,在500s內完成7.5個“拍”,而發生主參數共振是僅完成2個“拍”,說明主共振更容易發生。

5 結 論

本文以壽春西路橋為背景,建立塔索梁非線性耦合振動模型,為了切實反映拉索的振動性,考慮了拉索垂度效應、副塔的剛度以及拉索的傾角等因素。運用自適應龍格-庫塔算法求解振動微分方程,運用MATLAB分析拉索振動時程曲線圖,得出以下結論:

(1)微小的激勵在特定條件下可誘發拉索發生大幅度參數振動,并有“拍”的現象伴隨出現。

(2)在相同的初始條件下,拉索發生參數振動,如果振動的“拍”越大,那么其振幅就越小。

(3)導致拉索發生主共振和主參數共振的條件是相對獨立的。

(4)在相同的初始條件下,主參數振動振幅往往要比主共振的振幅要小一些。

(5)在相同的初始條件下,主共振要比主參數共振更容易誘發。