線性方程組在實際問題中的應用*

王艷萍 李 杰

(宿州學院 數學與統計學院 安徽 宿州 234000)

引言

針對代數學中理論知識點已經有許多教材詳細講解[1-2],但教材中實際案例卻少之甚少。近年來，許多學者也將代數學中的知識點應用到實際問題中去[3-4]。線性方程組是代數學中重要的知識點，針對這類知識點，本文給出具體實際案例，將理論與實際相結合，既結合了學科之間的應用，又結合了生活中常見的實際問題。

1.線性方程組在實際問題中的應用

1.1 齊次線性方程組。

例1:磷酸鈉和硝酸鋇溶液混合時產生磷酸鋇沉淀和硝酸鈉。請利用所學線性方程組知識，配平如下化學方程式Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3。

解 假設配平后化學方程式的系數分別為x1，x2,x3,x4,即

x1Na3PO4+x2Ba(NO3)2=x3Ba3(PO4)2+X4NaNO3，

由方程式的平衡，則3x1=x4,x1=2x3，x2=3x3,2x2=x4對齊次線性方程組的系數矩陣并進行初等行變換可得方程組的通解為x1=1/3x4,x2=1/2x4,x3=1/6x4。由于化學方程式的系數只能取正整數，因此取x4=6，得x1=2,x2=3,x3=1，所以平衡的化學方程式為2Na3PO4+3Ba(NO3)2=Ba3(PO4)2+6NaNO3。

1.2 非齊次線性方程組。

例2:下圖是宿州市某日單位時段內四條主要干道單向車輛的流量圖。請利用所學線性代數知識，解決以下問題。

(1)給出圖中所有流量的滿足的關系式。

(2)由于道路設施等原因，圖中x1至x5的單位時段內的車流量最大不能超過500。請利用線性方程組理論，說明如何控制x1至x5中的某一個流量，使得5個路段的單位時間內流量x1至x5都不超過500。

解 交叉點的車流是平衡的，A點：x1+x2=300+500；B點：x2+x4=x3+300；C點：x4+x5=100+400；D點：x1+5=600。它們滿足線性方程組，對它的增廣矩陣進行初等行變換，可得方程組的通解為x1=600-x5,x2=200+x5,x3=400,x4=500-x。

要使得x1至x5都不超過500，則100≤x5≤300。