大型壓力機偏心套扭轉問題的分析研究

朱鵬 朱麒

摘 要：大型壓力機偏心套是一種典型的復雜截面問題的求解，文章通過柱體扭轉問題的應力函數以及多連域轉化為單連域的方法為基礎，應用有限元/邊界元法，提出 “孔洞擬填充”的方法，并利用有限元分析軟件ANSYS Workbench以偏心輪為例模擬求解扭轉問題。結果證明該方法可以適用于任何截面的桿件，從而為今后復雜截面桿件的扭轉問題的研究計算提供了依據。

關鍵詞：復雜截面;應力函數;多連域;孔洞擬填充;有限元;扭轉

1引言

在車輛以及機械設備中，普遍使用承受扭矩載荷的部件 （如偏心輪，偏心齒輪） 及采用非圓截面（如矩形、三角形，橢圓形等）的軸，這些承扭件的橫截面往往為復雜的多連通域，對其扭轉問題通常難以求得解析解，從而使其強度和剛度計算成為設計中的難點。如何借助計算機和現代分析手段，來分析承扭桿的結構的問題，并精確求解這些扭桿件的應力、應變狀態及抗扭剛度，具有一定的研究價值。因為扭桿件的應力、應變狀態及抗扭剛度是分析設計的基礎。

2 復雜截面扭轉問題的理論分析

對于復雜截面扭轉問題的求解，我們可以將其看作是對多連域截面問題的求解。目前處理此類問題所采用的方法有虛邊界元法[1]，變分解法[3]，邊界條件的分離變量法[5]，復變函數法[6]，多連域轉化為單連域[7]，有限元法[8]等。本文以有限元/邊界元法及多連域化為單連域的方法為基礎，應用孔洞擬填充思想來處理復雜截面的扭轉問題。

2.1有限元 / 邊界元法

根據彈性力學中在柱體周圍的側面上的應力關系及柱體扭轉問題的性質，可以得出應力在邊界上的關系式：

由（1）式可得知應力函數在邊界上一定是一個常數。

對于一般情況下的多連域截面扭轉問題，其圖形如圖1所示：

則多連域截面的扭矩可以寫成下式：

對（2）是進行積分計算，并運用格林公式將面積的積分轉化為沿曲線的積分，所以（2）可以簡化為：

2.2孔洞擬填充法

隨著等值面數的增加以及區域Ω0（截面域）形狀的復雜，結果的求解也將變得復雜起來，原因是由于多連域及其內部的邊界條件存在，使得結果的求解處理難以進行。那么究竟采用什么方法可以有效的避免多連域和邊界條件的影響呢？因此，考慮到有限單元法，因為有限單元法可以把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，從而可以把復雜問題簡單化，因此利用它可以方便的進行復雜力學問題的求解。所以要將所要解決的多連域問題轉化為有限個小單元進行計算求解。

根據應力函數理論，可知多連域截面扭轉問題的控制方程（歐拉方程）和邊界條件的一般形式為：

式中n表示每個小單元節點的個數;Φe表示單元的應力函數并且滿足強制性邊界條件;Νi為試函數（形函數）。

由式也可以得出如下關系式：

3 實例分析

4 2有限元分析

將偏心輪的模型圖（其模型圖如圖3、圖4所示）導入到ANSYS Workbench中，進行加載、約束、定義分析類型、分析選項、載荷數據和載荷選項等步驟， 然后開始有限元求解，其中對圖3 采用有限元法求解，圖4采用孔洞擬填充法求解。在進行分析求解時，選偏心輪的材料為碳素鋼，兩種情況下偏心輪所具有的基本參數如表1、表2所示：

對圖3、圖4的兩種情況下的偏心輪進行劃分網格，網格劃分后的圖形（如圖5，圖6所示）

對以上偏心輪的模型加載求解（如圖7、圖8），經求解處理后偏心輪在兩種

5 結論

（1）對于不對稱的復雜截面以及多連域截面扭轉問題的求解，經典的材料力學求解方法已經不適用。 由于多連域法計算量比較大，邊界處理起來比較煩鎖，因此本文在有限元的基礎上，基于虛邊界元[1]、輪廓的孔洞填充算法[2]和虛單元[9]提出了“孔洞擬填充”的思想，將多連域問題轉變為單連域問題來模擬求解。

（2）“孔洞擬填充”的思想處理多連域問題的求解比較方便，與一般方法相比減少了工作量，從而使得對求任意截面的多連域問題具有一定的優越性。

（3）“孔洞擬填充”方法不受截面形狀的限制，因此可以廣泛應用于各種復雜截面扭桿問題的設計及分析。

參考文獻：

[1] 錢偉長，林鴻蓀，胡海昌等.彈性柱體的扭轉理論[M].科學出版社，1956.

[2] 王祖成，汪家才.彈性和塑性理論及有限單元法[M]. 冶金工業出版社，1983.

[3] 朱加銘.有限元和邊界法[M].哈爾濱工業大學，2002.

[4] 楊冬升，凌靜.虛邊界元多連通區域邊界離散及邊界條件分析[J].佳木斯大學學報，2011，29（2）：161-163.

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