航空器飛行軌跡表示方法及其應用

趙元棣,付云峰,吳佳馨

(1.中國民航大學空管基地，天津 300300；2.中國民航大學空中交通管理學院，天津 300300)

隨著中國經濟的不斷發展，中國民航產業規模日漸龐大，增長迅速，積累的運行數據也隨之增多。在實際運行中，每天每個航班都會產生一條獨有的飛行軌跡，空管自動化系統以固定時間間隔(一般為4 s或1 s)將這條軌跡上的各點記錄下來。因此，空管單位每天產生的飛行軌跡數據量十分巨大，傳統的數據存儲和處理方式已經不再適用，如何對大規模的飛行軌跡數據進行規則化表示，從而減少內存占用成了亟待解決的問題。

目前圍繞航空器飛行軌跡數據處理的研究已經成為民航空管領域的熱點。在優化設計方面，康瑞等[1]在綜合航空器飛行性能和飛行計劃、實時監視數據的基礎上，對航空器飛行軌跡、姿態進行推算；楊奕堂[2]基于改進型卡爾曼濾波進行空管雷達數據濾波，提高了空管二次雷達對數據的處理能力；呂開妮等[3]采用自適應遺傳算法研究了民航客機爬升段的飛行軌跡優化問題，提高了發動機利用效率，減少了燃料消耗，降低了飛行成本。在模擬仿真方面，曹文鋒[4]提出一種新的改進蟻群算法，用于規劃航跡，在最優路徑搜索能力和穩定性上均有提升；李新勝等[5]根據飛行計劃中航路點位置相互之間的關系和飛機實時速度和位置等信息，生成BéZier曲線控制點后得到飛機航跡曲線。由此可見，目前前人研究大多是基于海量飛行軌跡數據而展開的，因此數據質量與規模對于計算的速度和準確性起著至關重要的作用。

在分析飛行軌跡數據特征的基礎上，利用不同方式對軌跡數據進行重采樣和重構，在保留原始軌跡運動特征的前提下，大幅度減少數據規模。此外，基于固定點數采樣結果，采用層次聚類法進行軌跡聚類分析，并識別盛行交通流和異常軌跡，驗證該方法的應用價值。

1 飛行軌跡的重采樣

設某條飛行軌跡由n個三維軌跡點組成，表示為(p1,p2,…,pn)，其中每個軌跡點的三維坐標為pi=(xi,yi,zi),i=1,2,…,n。

1.1 等間隔采樣

設采樣間隔為a(又稱采樣率為1/a)，即從第一個點開始，每隔a個點采樣一個軌跡點，則采樣后的軌跡點可表示為(p1,p1+a,…,p1+sa)，其中s為采樣點的個數。通過調整采樣間隔的大小，可以控制重采樣后軌跡點的疏密程度。圖1(a)所示為對由360個軌跡點組成的飛行軌跡進行間隔為3的重采樣結果，圖1(b)所示為間隔為10的重采樣結果，采樣后的點數分別為120、36個。由圖1可以看出，采樣間隔越小，重采樣后軌跡點數越多，保留原始軌跡的運動特征也越多，但占用存儲空間也越大；采樣間隔越大，重采樣后軌跡點數越少，占用存儲空間越小，但對原始軌跡運動特征的保留程度越低，主要體現在細節處(如轉彎點、高度改變點等)精確度不足。

圖1 等間隔采樣Fig.1 Equal interval sampling

1.2 固定點數采樣

設采樣點數為m，即用m個采樣點表示原始軌跡。保持首尾軌跡點不變，根據飛行軌跡總距離和采樣點數計算參數節點為k/m(k=1,2,…,m)所對應的軌跡點即為采樣點qk(k=1,2,…,m)，則重采樣后的飛行軌跡可表示為(q1,q2,…,qm)，其中q1=p1，qm=pn。需要說明的是，該方法在采樣過程中可能會產生新點。通過調整固定點數的大小，可以控制重采樣后軌跡點的疏密程度。圖2(a)為對由450個軌跡點組成的飛行軌跡進行采樣點數為50的重采樣結果，圖2(b)為利用采樣點重構的飛行軌跡。圖2(c)、圖2(d)分別為采樣點數為100和200的結果。由圖2可知，隨著采樣點數的增多，重構軌跡與原始軌跡的相似度在增加。

圖2 固定點數采樣Fig.2 Fixed-points sampling

1.3 自適應采樣

1.3.1 根據飛行狀態自適應采樣

飛行軌跡包含平飛段和上升下降段，其中平飛段軌跡可以看作是一條直線，運動特征變化較少，故可以適當減少采樣點數；而上升下降段航空器的高度變化頻繁，應保留較多的采樣點數以保證采樣后不會損失其運動特征。利用軌跡數據中的飛行高度變化判斷航空器的飛行狀態，在各個飛行狀態中采用等間隔采樣，進而實現全軌跡的自適應采樣。

圖3所示的采樣率分別為平飛段1/10、1/30、1/10、1/10，上升下降段1/10、1/10、1/20、1/40。

圖3 根據飛行狀態自適應采樣Fig.3 Flight status-based adaptive sampling

通過對比發現，改變平飛段采樣率，重構軌跡并不會發生明顯變化[圖3(a)、圖3(b)]，即平飛段采樣點數的減少并不會明顯減弱對原始軌跡的保真程度。而改變上升下降段采樣率，重構軌跡會發生明顯變化[圖3(a)、圖3(c)、圖3(d)]，即上升下降段采樣點數的多少會對原始軌跡的保真程度產生較大影響。因此，采樣時應適當減少平飛段采樣點數，并保留較多的上升下降段采樣點數，以保持原運動特征。

1.3.2 根據轉彎狀態自適應采樣

航空器在飛行過程中會發生轉彎等操作，且轉彎過程與高度無關，故只對二維軌跡進行分析。二維軌跡包含直飛段和轉彎段，如前所述，直飛軌跡可以看作一條直線，采樣點數可以適當減少；而航空器在轉彎時運動特征發生改變，應保留較多的采樣點數。利用軌跡數據中相鄰軌跡點的位置判斷航空器是否處于轉彎狀態，在各個飛行狀態中采用等間隔采樣，進而實現全軌跡的自適應采樣。

利用第i個、第i+3個、第i+5個點的位置判斷第i+5個點是否處于轉彎狀態，計算第i+5點到第i個和第i+3個點所在直線的距離：

(1)

式(1)中：(xi,yi)、(xi+3,yi+3)、(xi+5,yi+5)分別為第i個、第i+3個、第i+5個點的橫縱坐標。

若d大于指定閾值ε，則判斷第i+5個點為轉彎點。圖4(a)、圖4(b)分別為當ε=0.2、ε=0.5時的自適應采樣結果，采樣率均為1/30；圖4(c)為由圖4(b)中采樣點重構的軌跡。此外，嘗試僅對轉彎處進行重采樣，重構的軌跡如圖4(d)所示。

圖4 根據轉彎轉態自適應采樣Fig.4 Turn status-based adaptive sampling

由圖4可知，隨著的增大，采樣點數減少，對軌跡轉彎處運動細節的保真程度降低。通過對比在直飛處采樣和僅在轉彎處采樣兩個結果[圖4(c)、圖4(d)]，發現僅在轉彎處采樣，同樣能很好地保持原始軌跡的運動特征，不會過多損失細節。

2 基于傅里葉描繪子的軌跡重構

傅里葉描繪子是一種基于頻域變換的形狀表示方法，是目前形狀表示方法中應用最多的描繪子之一，具有計算簡便、魯棒性高、抗噪性好、形狀分辨能力強等特點。其基本思想是：將軌跡曲線表示為一維輪廓線函數，則相對于軌跡上的某一固定點來說，軌跡上的一個動點的坐標變化是一個周期函數，可以利用傅里葉級數展開表示，傅里葉級數中的系數是直接與軌跡曲線的形狀有關的，稱為傅里葉描繪子[6]。

采用基于物體輪廓坐標序列的傅里葉描繪子，它具有最佳形狀識別性能，能夠很好地識別軌跡形狀并提取特征。設一條由K個點組成的二維軌跡(p1,p2,…,pK)，其中每個軌跡點的坐標為pk=(xk,yk),k=1,2,…,K。將每個軌跡點用復數表示為s(k)=xk+jyk，k=1,2,…,K。則離散傅里葉變換為

(2)

式(2)中:u=1,2,…,K；復系數a(u)就是傅里葉描繪子。

選取頻域中的低頻信息，并利用傅里葉逆變換對原始軌跡進行重構：

(3)

式(3)中：k=1,2,…,K；T為傅里葉描繪子數量，決定保留細節的程度，T越大，保留的細節就越多，這是因為低頻分量決定軌跡整體的形狀，高頻分量描繪軌跡的細節[7]。

2.1 兩端補點法軌跡重構

由于傅里葉描繪子大多應用于閉曲線，因此需要在軌跡兩端人工補點，防止重構后的軌跡在兩端出現較為嚴重的震蕩現象。

首先在原始軌跡兩端沿著其延伸方向分別補上若干虛擬軌跡點(各200個點)，使其向兩端延長，接下來對這條延長軌跡利用傅里葉描繪子進行重構，最后再分別剔除軌跡兩端的補點，得到最終的重構軌跡。

圖5(a)為重構軌跡和原始軌跡對比圖，不難看出，重構效果較好。圖5(b)和圖5(c)分別為T=400、T=200的重構軌跡圖，可以發現重構軌跡保留了絕大部分原始軌跡的特征。進一步對比發現，圖5(b)由于選取的傅里葉描繪子數量較大，使得其重構軌跡在細節處相比圖5(c)和原始軌跡更為接近。

圖5 兩端補點法軌跡重構Fig.5 Trajectory reconstruction by adding end points

2.2 半圓補點法軌跡重構

為了使飛行軌跡成為一個閉曲線，首先將原始軌跡的首尾兩個軌跡點相連，得到一條直線段。以該線段的中點為圓心，該線段的長度為直徑，且以原始軌跡首尾軌跡點作為起始點和終止點，補充半圓軌跡，與原始軌跡兩端銜接，如圖6所示。

圖6 半圓補點Fig.6 Semi circle by adding points

圖7 半圓補點法軌跡重構Fig.7 Trajectory reconstruction by adding semi circle points

圖7(a)為原始軌跡，圖7(b)～圖7(d)分別為T=200、T=100、T=50的重構軌跡。由圖7可知，T=200、T=100的重構軌跡對原始軌跡的運動特征保留得較為完整，但隨著傅里葉描繪子數量的減少，重構效果變差，主要體現在重構軌跡的光滑度下降，軌跡兩端出現震蕩現象，如圖7(d)所示。

3 基于固定點數采樣的軌跡聚類

聚類分析是把一組數據按照相似性和差異性分成幾個類別，其目的是使得屬于同一類別的數據間的相似性盡可能大，不同類別的數據間相似性盡可能小。對飛行軌跡進行聚類分析可以從龐雜的航空器飛行軌跡中有效識別盛行交通流和異常軌跡，提取空中交通流量時空分布特征，為進離場航線設計和空域扇區劃分提供理論依據，目前已經成為空管數據處理領域的研究熱點[8-10]。

利用固定點數采樣方法對軌跡簇中的每條軌跡進行重采樣，得到相同規模的軌跡數據，然后采用基于平均距離法的層次聚類法對軌跡簇進行聚類，結果如圖8所示，其中同類的軌跡用相同顏色來表示，共有5類。紫紅色、綠色和藍色的軌跡簇分別對應于正北、東北和西南三個不同方向的盛行交通流。紅色和黑色的軌跡數目較少，是因為其在特殊情況下(如惡劣天氣、流量控制、間隔調配等)由管制員對航空器進行引導的軌跡，視為異常軌跡。

圖8 基于固定點數采樣的軌跡聚類結果Fig.8 Trajectories clustering result based on fixed-points sampling

4 結論

通過分析航空器飛行軌跡數據的特征，圍繞飛行軌跡的有效表示方法，及其在軌跡聚類中的應用展開了研究，得到以下結論。

(1)等間隔采樣和固定點數采樣，隨著采樣間隔的減少或采樣點數的增加，使得重采樣后軌跡點越來越密集，對原始軌跡細節的保留程度越好，但占用存儲空間也越多。

(2)自適應采樣，通過在平飛(或直飛)段減少采樣點數目，平衡了減少軌跡點數目與保留原始軌跡運動特征兩者之間的關系，實現了利用較少軌跡點保留較多運動特征的目的。

(3)利用傅里葉描繪子重構軌跡可以有效提取軌跡的低頻分量，重現軌跡整體形狀，通過增加傅里葉描繪子數量，提升對軌跡運動細節的保真程度。

(4)在固定點數采樣的基礎上，對采樣后的軌跡簇進行層次聚類，得到令人滿意的聚類結果，有效提取盛行交通流和異常軌跡。

未來的研究工作包括進一步優化采樣算法，更好地保留原始軌跡的運動特征，以及面向飛行全過程的飛行軌跡表示方法。