懸掛重物輕彈簧下落過程中的疑惑和解答

曹曉亮 邱為鋼

(1. 湖州市吳興高級中學，浙江 湖州 313000； 2. 湖州師范學院求真學院，浙江 湖州 313000)

中學物理彈簧模型習題中，有這樣一道有爭議的題目，如文獻[1-2]所述：彈簧的一端懸掛一物體，另一端用手固定，則放手的瞬間物體的加速度是多少？此題甚至還作為1987年廣東物理高考選擇題之一.有爭議的答案是這兩個，一個認為放手瞬間物體的加速度是0，另一個認為放手瞬間物體的加速度是重力加速度g. 從能量角度考慮，文獻[3-4]認為，放手瞬間，彈簧瞬間恢復原狀，消失的彈性勢能去哪里了？以上疑惑的根本原因是文獻[5]所歸納的中學物理彈簧模型，默認為是質量為零的輕彈簧，只存在于習題和考題中.實際輕彈簧是文獻[6]中有質量軟塑料彈簧(魔力彈簧或彩虹圈)，恢復原長是需要時間的，不可能瞬時改變.

對于有爭議物理模型問題，最簡單實在的方法就是真的去做一下這個實驗，用現(xiàn)象和數(shù)據說話.實驗器材是彩虹圈，網球，紙和手機.用膠帶紙把網球黏貼在彈簧的下端，墻面貼一個有長度刻度的紙，用于標記和測量彩虹圈下落距離.用最新款手機的高速攝像功能拍攝，然后導出到電腦中.用視頻編輯軟件一幀一幀截取下落過程的圖像，然后并排疊放，得到圖像如圖1所示.

從圖1可以看出，彈簧并不是瞬時恢復原長的，需要一段時間.在起始下落過程中，下端及網球保持不動.彈簧分為上下兩部分，之前下面部分是不動的，上面部分作為一個整體在下落.上端幾乎在一條直線上，如圖1中的實線所示，這說明上端是勻速下落的. 圖1中每幅圖間隔20 ms，背景是畫有刻度貼在墻壁上的白紙.由圖1中的刻度和標記，得到每張圖中彈簧上端下降距離與時間的關系，如表1所示.

圖1 懸掛網球塑料彈簧的下落

表1

由表1數(shù)據，線性擬合得到本實驗中彈簧上端下落速度是7.06 m/s. 那么這個下落速度有沒有解析表達式？依賴于哪些物理量？

這個問題的理論解答需要比較高深的理論物理知識，故本文只介紹主要思路和結果.設彈簧在原長時，質量隨長度是均勻分布的，按文獻[7]的做法，設彈簧彈性系數(shù)為k，原長為l0，質量為m0.下端懸掛一個質量為m的物體.彈簧的下落過程其實是彈簧在重力場中形變的恢復過程，是重力場中彈簧的波動方程.彈簧形變滿足一定的初始和邊界條件，用分離變量法或者拉普拉斯變換法求解這個二階偏微分方程，再利用復變函數(shù)中的圍道積分和留數(shù)定理，理論上可以證明：在下落過程中，彈簧下端保持不動，上端勻速下落，速度是[8]

(1)

其中l(wèi)g是彈簧不掛重物，在自身重力作用下自然伸長后的總長度.式(1)并不出現(xiàn)彈簧的彈性系數(shù)，容易測量和檢驗.

圖1中的實驗數(shù)據是，彈簧原長6 cm，在重力作用下自身伸長后總長度是30 cm.彈簧質量是24.10 g，網球質量是55.53 g.由式(1)，彈簧上端下落速度理論上是7.16 m/s. 考慮到實際彈簧下落過程中有阻力，碰撞，晃動等能量損耗，實際下落速度7.06 m/s應該小于理論速度7.16 m/s.

如果彈簧的質量m0趨向于0，考慮到只在自身重力作用下靜止彈簧伸長有以下表達式

(2)

把(2)式代入(1)式，彈簧上端下落速度是這樣趨向無窮大的：

(3)

與彈簧質量開根號成反比.彈簧懸掛重物后的伸長量有以下表達式

(4)

恢復形變(下落)時間就是(4)式中的距離比上(3)式中的下落速度

(5)

當彈簧的質量m0趨向于0時，恢復形變(下落)時間這樣趨向于0的：

(6)

與彈簧質量開根號成正比.即彈簧質量越小，恢復形變時間也越小，但不是瞬時的.

回到原題，如果彈簧是真實的彈簧，那么彈簧下落是需要時間的.放手的瞬間，彈簧最下端不知道上端發(fā)生了什么，保持原狀，所以物體還是靜止，加速度為0.文獻[1]的結論是正確的.如是理想的輕彈簧，即彈簧質量趨向于0，可以討論的比文獻[2]更細致.看這個“瞬時”與(6)式的下落時間相比，如比(6)式小，物體靜止，加速度為0；如比(6)式大，物體加速度有可能為g.

再從能量角度看，下落過程中重物不動，能量只在彈簧內部相互轉換，彈簧減小的重力勢能和彈性勢能轉化為運動下落部分的動能，并沒有憑空消失.估算一下這個動能，正比于彈簧的質量與彈簧下落速率的平方，由(3)式可以估計這個動能的近似表達式

(7)

當彈簧質量m0趨向于0時，彈簧動能趨向為

(8)

這個動能是個有限值，并不為0，不會消失.這解決了文獻[3-4]的部分疑惑.

這個問題模型對我們的啟示是，如果口頭討論得不到要領，不如親手做實驗一次，來驗證各種說法對還是不對.彈簧重物下落模型你如果真的做了，才會發(fā)現(xiàn)，還有這么多有趣的物理.這個模型不應該出現(xiàn)在試題和考題中，最適合的地方是IYPT或者CUPT等中學生物理錦標賽.本文中的詳細理論推導，會在參考文獻[8]中查到，有興趣的讀者到時可以驗證一下.