透析歐姆表物理量的比值關系

吳瓊煙 許劍偉

(莆田第十中學，福建 莆田 351146)

1 歐姆表的公式

圖1

指針的偏轉角θ與回路電流I成正比，所以記θ=kI，式中k為比例系數.設表筆短路時，偏轉角為A，電流為I0，則有A=kI0.

再設電池電動勢為E，歐姆表內阻為R0，被測電阻為Rx(圖1)，歐姆表內阻上的壓降為U0，易得以下方程組

得

(1)

2 歐姆表刻度盤公式

圖2

因為種種原因，歐姆表使用過程中，內阻可能發生了變化，以上刻度表將與被測電阻對不上.因此必須區分刻度公式與實際電路公式.

刻度公式

(2)

實際偏轉

(3)

式中A為制作刻度盤時的滿偏角，M為中值刻度，x為讀數；B、R0為歐姆表內部參數發生變化后的滿偏角及內阻.如果歐姆表正常工作，上式中M=R0，A=B，自然就有x=Rx.

測量前要求歐姆調零，那么就有A=B，(2)(3)式就可以合并為

(4)

3 讀數的含義

當歐姆表參數發生變化后，仍用舊表盤.那么讀數表示什么呢？

4 歐姆表誤差問題的解題技巧

從(2)-(4)式可以看出，歐姆表的物理參數較多.特別是表盤讀數與實際值不一致時，若不使用這兩個式子，僅使用歐姆定律來解題，解題特別“繞彎”，不容易找到物理量和讀數之間的關系，造成學生得分率低.

如果列出(2)-(3)式或(4)式，相當于一次性把相關物理量全部擺在桌面上看，那么接下來的事情就比較簡單了，只要在題目中找到式中的物理量，并代入計算就可得到結果.

例1.(2019年4月福建省質檢題)某同學用內阻Rg=20 Ω、滿偏電流Ig=5 mA的毫安表制作了一個簡易歐姆表，電路如圖3(甲)，電阻刻度值尚未標注.

(1) 該同學先測量圖3(甲)中電源的電動勢E，實驗步驟如下：

① 將兩表筆短接，調節R0使毫安表指針滿偏；

② 將阻值為200 Ω的電阻接在兩表筆之間，此時毫安表指針位置如圖3(乙)所示，該示數為________mA；

③ 計算得電源的電動勢E=________V.

(2) 接著，他在電流刻度為5.00 mA的位置標上0 Ω，在電流刻度為2.00 mA的位置標上________Ω，并在其他位置標上相應的電阻刻度值.

(3) 該歐姆表用久后，電池老化造成電動勢減小、內阻增大，但仍能進行歐姆調零，則用其測得的電阻值__________真實值(填“大于”“等于”或“小于”).

圖3

(4) 為了減小電池老化造成的誤差，該同學用一電壓表對原電阻刻度值進行修正.將歐姆表的兩表筆短接，調節R0使指針滿偏；再將電壓表接在兩表筆之間，此時電壓表示數為1.16 V，歐姆表示數為1200 Ω，則電壓表的內阻為________Ω，原電阻刻度值300 Ω應修改為________Ω.

解析：可采用(4)式解題.

(5)

第(1)小題，讀數3 mA.

解法1(依題意，可優先考慮此法)：

解法2：Rx=200代入(3)式得

第(4)小題：等價于求(3)式中的Rx和R0，先把已知數據代入(3)式

小結：反復使用(4)式，處理過程明顯簡化，思路也更清晰.

5 讀數與真值的線性關系

由(2)(3)式可得

說明電阻Rx與讀數x成線性關系，可用直線的兩點公式表示

此式中(x1，Rx1) 和(x2，Rx2)由實測兩個已知電阻得到.如果利用表筆短路確定(x1，Rx1)，那么式中Rx1=0，可簡化為

利用這一線性關系式，還可以解決不能調零時的歐姆表問題.以下列舉兩例分析：

例2.表筆短路時(即Rx1=0)時讀數為x1=1.3，接入電阻Rx2=25 Ω時讀數為x2=28.讀數為x=20時，被測電阻為多少歐？

從此題看出，這種情況下，測量結果不再依賴內阻準確度，只與外接基準電阻Rx2以及刻度讀數的準確度有關.

例3.某同學測電阻時，因電池舊了無法歐姆調零，表筆短路時殘余讀數為0.2 Ω.表盤中值刻度M=10，設此時歐姆表內阻R0=10 Ω.該同學用當前讀數減去短路時的讀數表示被測電阻值(相對值法)，這樣可以嗎？正確值是多少？

6 實際歐姆表電路

圖4

那么要如何減小R0變化呢？一般是采用如圖4表頭電路，圖中數據為上四MF500萬用表參數.此電路調節電位器時，AB兩端看進去的總電阻幾乎保持不變.

應用哈蒙(Ham0n)量具原理有助于理解此電路：n個阻值相近的電阻，平均阻值為Ra，串聯電阻值為Rs，并聯電阻為Rp，則有Rs/Ra=n，Rs/Rp≈n2，Rs與Rp比值誤差為二階小量.比如，各電阻偏離Ra小于0.1%，那么比值偏離n2不到1 ppm.因此，如果保持Rs不變，那么調整各個電阻的值，不會明顯引起并聯電阻Rp變化.

圖中，電位器調節時，串聯阻值Rs=a+b+c+d保持不變，而且兩支路阻值比較接近，所以調零過程中兩支路的并聯阻值Rp也不會發生明顯改變.

設圖中兩支路電阻分別為R1和R2，電位器調到中點，兩支路阻值均為Ra=Rs/2，繼續調節，R1偏移+Δ，則R2偏移-Δ，得R1=Ra(1+Δ)，R2=Ra(1-Δ)，代入電阻并聯公式得(并聯阻值=兩電阻之積除以兩電阻之和)：

可見，調電位器引起Rp變化僅為二階小量Δ2.

本電路中，f、p、Δ等參數為

最后，在圖中AB兩端并聯上適當電阻，就構成不同量程的歐姆表.

綜上，實際歐姆表調零電阻的調節范圍很大，但總內阻幾乎不變.

7 一些誤解

平時做習題時，給人們一個感覺：“電池舊了，歐姆表精度變差”、“電池電動勢下降了，歐姆表精度下降”，但這種感覺卻與事實有些偏差.

通過上述分析得知，歐姆表精度下降的主要原因是內阻發生了變化，而不是電動勢變化.對于實際萬用表，電池用舊后，對低阻擋(R×1)影響較明顯，因為此時電池內阻變大.不過，現在多數AA堿性電池，即使電池電壓降到1.2 V(此時往往已經不能調零)，直流內阻仍與新電池基本相同，因此，關鍵還是在于電池及量程切換開關的質量.