基于移動最小二乘法的微型光譜儀標定方法

陳 朋，韓洋洋，嚴憲澤，昝 昊

(1.浙江工業大學 計算機科學與技術學院，杭州 310023；2.浙江工業大學 信息工程學院，杭州 310023)

0 引言

微型光譜儀在現代工程應用中，對成分的檢測發揮著越來越重要的作用。由于每種物質成分都有其獨特的光譜特征，通過微型光譜儀分析檢測物質可以快速準確地得到正確的結果，相比于其他檢測方法，其具有重量輕、體積小、探測速度快等優點[1]，其對物質的非破壞性更具有獨特的優越性。

微型光譜儀在設計制造后，標定是一個重要的步驟。微型光譜儀的標定是確定光電傳感器像元與光譜波長的對應關系。目前光譜儀標定主要有兩種方法：光學方程計算法和波長標定實驗法。光學方程計算法是用光柵公式直接計算出波長的具體位置，這種方法通常受儀器工藝、安裝位置等因素影響，誤差較大。波長標定實驗法是采用特征光譜在光電傳感器對應的像元上找到相應的位置[2]，并采用最小二乘法[3]擬合等方法實現波長的標定。根據擬合得到的數學模型，可以將所有像元對應的波長值計算出來[4-5]。

為了精確和有效地標定光譜儀，波長標定通常使用標準光源，用擬合或插值方法進行標定。目前國內外對光譜儀標定方法研究主要有對標定裝置的研究和標定算法的研究[6]。在對標定裝置研究上，吳越[7]等人在分析實驗室常用波長定標方法的基礎上，搭建了一種基于CO2激光器+積分球的波長定標裝置，采用該定標裝置進行波長標定，然后用多項式算法擬合獲得了較高的標定精度。毛靖華[8]等人選取超靜氙燈作為標定光源，構建了基于中階梯衍射光柵的波長標定裝置，對儀器進行了波長標定。Yu Z[9]等人采用波導梳狀濾波器對分光計進行波長校準，解決了基線校準不好、特征峰分布不均勻的問題，有效地改善了多項式擬合精度低的缺點。以上通過對標定裝置的改進都在不同程度上增加了標定裝置自身誤差對標定結果的影響。同時標定裝置操作復雜，難以商業化。

在標定方法研究上，Cho J[10]等人利用一個帶有兩個三角項的波長校準模型，將水平像元與低壓汞燈五條線的已知波長進行最小二乘擬合。Zhang F[11]等人在光柵衍射方程的基礎上，結合分析光柵、正弦桿和掃描機構螺桿之間的機械傳動關系，建立了波長誤差和機械誤差的數學模型，提出了一種基于正弦棒長度調整和誤差補償的波長精確標定方法。Kim[12-13]等人只需要一個精確的波長就可以指定整個波長范圍。在標定方法研究上，大多基于最小二乘法擬合方式[14]，擬合之后的光譜信號由于受到噪聲等因素的影響，波長和感光元件的像元之間并不是嚴格的多項式關系，誤差的標準差較大。

綜上所述，本文針對標準光源的特征光譜和傳統擬合方法的缺點，首次提出基于MLS的微型光譜儀標定方法，解決了最小二乘法誤差標準差較大的問題。該方法使用C#作為編程語言，在WPF平臺(Windows Presentation Foundation)上實現該方法。首先使用汞氬燈和氖燈作為標定光源，然后針對原始特征光譜圖中存在的高頻噪聲使用小波去噪法[15-16]去除，之后使用峰值圖像定位算法找到特征光譜峰所對應的像元位置，最后篩選一部分標定點，使用移動最小二乘法標定。

1 標定方法總體介紹

本文提出的基于移動最小二乘法的微型光譜儀標定方法如圖1所示。

圖1 標定方法設計圖

該方法由小波去噪、尋找特征峰、篩選有效標定點和標定關系擬合四部分組成。

第一部分：由于原始光譜圖中存在大量的高斯白噪聲，使用小波去噪使信號的噪聲得到抑制并且反映原始信號的特征尖峰得到很好地保留；第二部分：選取合適的特征峰起始位置決定了標定的精度，使用比較法，定位每個特征峰像元所在的位置；第三部分：篩選一部分均勻覆蓋的特征峰所對應的像元位置參與標定；第四部分：選取指數型權函數和線性基函數，使用移動最小二乘法算出標定關系。

2 小波去噪去除高頻噪聲

微型光譜儀采集的信號包含各種噪聲和干擾，微型光譜儀標定前需要進行平滑處理提高光譜數據的信噪比，同時還需要保留光譜特征。

首先對接收到的光譜數據進行平均去噪，然后再進行小波去噪。平均去噪認為相鄰幀同一像元位置之間存在相關性，通過平均去噪，使光譜曲線預處理為較平滑。

小波理論是在傅里葉理論基礎上發展而來，其主要原理基于短時傅里葉變換。小波去噪的實質是將含有噪聲的信號從時域到小波空間的最優映射。小波去噪包括小波變換、閾值處理、小波重構三個步驟[17]。

小波變換首先要選擇一個合適的小波基，小波基有很多種，小波基應該選擇與待去除的噪聲信號波形相似的小波函數。根據光譜儀高頻噪聲的特點，本文選取db3小波作為小波變換的小波基，db3小波的尺度函數和小波函數如圖2所示，對原始光譜信號進行3層小波分解。

圖2 db3小波尺度和小波函數

微型光譜儀感光元件獲得的信號為離散數字信號，用濾波器執行離散小波變換如圖3所示。圖中a0(k)為原始離散信號，k為離散數據的序號，離散信號的總長度為n；離散小波變換相當于將原信號a0(長度為n)與濾波器函數H和L(長度為f)做卷積，然后進行降采樣，舍棄一半的卷積結果，得到信號的近似值a1(k)和信號的近似值d1(k)，之后對a1(k)繼續分解。

圖3 濾波器實現3層離散小波分解

閾值處理的作用是根據小波變換后各尺度的小波系數大小，去除噪聲的小波系數并保留有效信號的小波系數。本文選用軟閾值法，軟閾值函數定義為式(1)：

(1)

其中:ω為小波分解后的小波系數，T為設置的閾值。

3 特征光譜定位算法

汞氬燈等標準光源的光譜圖峰值相對尖銳，存在重疊峰的情況[18]。本文針對此類光譜圖和實驗所用具有512點感光像元的微型光譜儀特點，基于比較法設計的光譜峰圖像定位算法主要有兩步：1)尋找每個峰的起始點、轉折點和終止點，并進行標注；2)根據所作的標注判斷特征峰的類型。

標注階段：如圖4所示，橫軸為線陣感光元件的像元序號，縱軸為光強，從原點開始搜尋，當出現I(i)

圖4 光譜特征峰起始點和終止點標注示意圖

圖5 光譜特征峰轉折點標注示意圖

對濾波之后的標準光源光譜圖標注之后再進行峰值類型判斷，如圖6所示。

圖6 判斷光譜特征峰類型示意圖

I_up與I_down之間出現一個獨立峰；當出現I_turn時則認為出現一個重疊峰，搜尋峰的極大值時，按照I_up與I_turn、I_turn與I_down的規律看作是兩個獨立峰。本文使用的光譜儀感光元件的像元較少，獲得的特征峰相對尖銳，對于特征峰所對應的像元只需要按照尋找極大值的方式即可找到，對于感光元件像元較多的光譜儀，還需要使用高斯擬合法、對稱零面積卷積法等方法進一步處理[19]，本文不再進一步分析。

4 MLS標定關系建立

設函數f(x)在求解域Ω內的近似為fh(x)，f(x)在計算點x的鄰域Ωx內局部近似為：

(2)

基函數常用單項式，本文選取一維空間中單項式線性基函數，線性基如下：

pT(x)=[1,x],m=2

(3)

求解域Ω用n個節點離散，在每個節點xI的權函數定義為：

wI=w(x-xI),I=1,2,…

(4)

近似函數fh(x)在節點處的誤差的加權平方和為：

(5)

其中:n是用于插值的場點數。

式(5)兩邊對a(x)求導得：

(6)

a(x)=A-1(x)B(x)y

(7)

其中:

(8)

B(x)=[w1(x)p(x1),w2(x)p(x2),…,wnp(xn)]

(9)

y=[y1,y2,…,yn]T

(10)

為了求解系數a(x)，把式(7)代入式(2)得到移動最小二乘擬合函數：

f(x)=pT(x)A-1(x)B(x)y

(11)

MLS標定的關鍵步驟是選取合適的權函數，權函數的選取應該滿足非負性、緊支性、單調遞減性和平滑性。常用的權函數類型有高斯函數、指數型函數、樣條型函數和徑向基函數等。根據微型光譜標定曲線線性特性，本文選取指數型函數作為基函數，形式如下：

wI=e-((x-xI)/α)2

(12)

其中:參數α越大，wI越平滑，本文經過多次試驗，選取α=60，此時微型光譜儀擬合效果最好。

移動最小二乘法的優點是應用較低階的基，選取適當的權函數獲得具有較高連續性和相容性的函數。

5 實驗分析

5.1 標定實驗設計

本文選用美國Pyxis公司研發的SQ-3000型可見波段的微型光譜儀作為標定精度測試對象。此光譜儀可檢測的波段波長范圍為380～800 nm，光譜儀的波長分辨率為1.5 nm，該型號微型光譜儀使用切爾尼-特納光學結構，光電傳感器為濱松S8378-512Q線性CMOS，各像元有其確定的編號，從1開始到512結束。由式(11)得到像元和波長的關系函數為：

λ(i)=pT(i)A-1(i)B(i)y

(13)

其中:i為像元序號，λ(i)為像元i所對應的波長。

波長標定需要通過測量標準物質的發射譜來完成，常用的波長標定光源為：氘燈發射譜、汞氬燈發射譜、氖燈發射譜等光源。隨著微型光譜儀的發展，使用單一光源很難獲得均勻分布的特征譜線，本文同時使用汞氬燈和氖燈對微型光譜儀標定，可以獲得均勻分布的特征譜線，具有成本低、操作簡單、精度高的優點，非常適合對200～1700 nm波段的微型光譜儀進行波長標定。標定裝置的連接如圖7所示。

圖7 標定裝置連接圖

實驗的流程如下：首先，完成微型光譜儀與汞氬燈標定光源的連接，微型光譜儀與計算機的連接；然后打開上位機軟件，通過上位機軟件調節積分時間采集合適的光譜圖像并將其呈現到計算機上，記錄此時的光譜圖像；斷開微型光譜儀與汞氬燈的連接，將微型光譜儀與氖燈進行連接，調節合適的積分時間，記錄此時的光譜圖像；通過上位機軟件，將兩次保存的光譜圖像進行小波去噪、尋峰。

5.2 標定集特征點選取

光譜儀標定集(參與標定的譜線特征點)選取的原則：譜線覆蓋在光譜儀工作波長范圍內，譜線的數目越多越好，譜線的間隔要大于光譜儀分辨率并且越均勻越好[5]。汞氬燈和氖燈的合成特征譜線在可見波段微型光譜儀去噪和尋峰后分布情況如圖8所示，深色線為Hg-Ar燈的光譜圖，淺色線為Ne燈的光譜圖。根據特征譜線分布情況實驗共選取11個特征點作為標定點，如表1所示。

圖8 去噪后特征光譜分布圖

表1 標定集特征譜線的波長和像元序號對應關系

特征譜波長/nm像元序號譜線來源404.65626Hg-Ar435.8862Hg-Ar546.074192Hg-Ar585.249239Ne614.306275Ne640.225307Ne667.828341Ne703.241385Ne724.512412Ne760.956459Hg-Ar794.818503Hg-Ar

5.3 標定結果及對比分析

標定結果檢驗方法：選取另一組未參與標定的特征點，測出相應的像元位置，將像元位置代入到擬合方程中，算出標定波長，特征譜線的真值與標定波長預測值之差即為標定誤差。

本實驗從汞氬燈和氖燈的合成特征光譜圖中均勻地選取5個未參與標定的特征譜線作為測試集，測出相應的像元位置，將像元位置代入到擬合之后的方程中，算出標定波長，測試集的波長分別為626.649 nm、671.704 nm、692.947 nm、727.294 nm、763.511 nm。

為了驗證標定精度，將測試集和標定集的像元位置均代入到標定關系函數中進行誤差測試，標定誤差如表2所示。

表2 MLS標定結果

通過對表2分析可知：采用基于移動最小二乘法的擬合絕對誤差在0.401 nm內，滿足標定所用微型光譜儀1.5 nm的分辨率要求。

進一步計算：MLS方法的擬合優度R2=0.999 3，擬合優度接近1，說明模型的擬合度較好。

為了驗證使用MLS標定方法的優越性，分別使用最小二乘法三次多項式擬合(LS3)、最小二乘法四次多項式擬合(LS4)、三次樣條插值法(CS)用相同的標定集進行標定對比。

標定之后，測試集和標定集的誤差標準差對比如表3所示，其中CS擬合中標定集一定在擬合曲線上，故沒有評價意義。通過對四種標定方法誤差標準差比較可知，MLS標定的測試集誤差標準差為0.192 nm，標定集誤差標準差為0.136 nm，高于其他三種擬合方式，說明MLS法標定結果更加穩定。

表3 多種標定方法誤差標準差比較結果

6 結論

針對微型光譜儀缺少一種統一、可靠的標定方法的問題，本文提出了一種基于移動最小二乘法的微型光譜儀標定方法，相比傳統的最小二乘法多項式擬合方式，移動最小二乘法可以靈活地選取不同階的基函數改變擬合精度，選取不同的權函數改變擬合的光滑度。首先，微型光譜儀標定中，本文提出同時使用汞氬燈和氖燈標定可見波段微型光譜儀，獲得均勻覆蓋的特征譜線。然后，經過小波去噪之后，高頻噪聲信號得到明顯地去除，使用峰值尋峰法可以準確地找到所有的特征峰所對應的像元位置。最后，選取一組特征譜線作為標定集，使用移動最小二乘法對微型光譜儀做標定；選取一組未參與標定的譜線作為測試集，進行誤差分析。由實驗可以得出：基于移動最小二乘法擬合標定后，標定集的誤差標準差為0.136 nm，測試集的誤差標準差為0.192 nm，擬合優度為0.999 3。本文提出的標定方法和傳統的最小二乘法三次擬合標定方法比較得到：標定集誤差標準差減小了0.026 nm，測試集誤差標定差減小了0.047 nm，標定結果具有較高的穩定性，在實際工程應用中具有重要的指導意義。