汽車總裝線配置的優化模型研究

董 慧，唐云芳

（安徽工業經濟職業技術學院，合肥230001；中國計量大學，杭州310018）

1 問題提出

汽車裝配中，由于受生產工藝、質量控制及成本等因素影響，總裝線的配置要求多且復雜，合理安排裝配順序對保證汽車裝配效率及質量，提高競爭力有著重要的意義。結合這一實際，2018年全國大學生數學建模競賽D題探討了如何優化汽車總裝線的配置以實現生產均衡化，即在各裝配要求的約束下給出符合要求且具有較低生產成本的裝配順序[1]。具體要求可以參見全國大學生數學建模競賽官網。

2 問題分析

汽車裝配過程中既要保證生產質量，提高裝配效率，又要盡量降低成本，實際上就是要實現生產的均衡化、平衡化，屬于最優化問題，因而將配置要求量化構建優化模型即可實現。

汽車在裝配時主要對確定汽車型號的五種屬性做了詳細的裝配要求，這五種屬性分別是品牌、配置、動力、驅動及顏色，其中前四種屬性的要求較少且簡單，顏色的要求較復雜，因而我們可以將品牌、配置、動力、驅動作為模塊1，顏色作為模塊2，通過量化裝配要求構造出約束條件及目標函數，從而建立出各模塊的優化模型。最后，將各模塊的模型綜合起來得出符合要求且具有較低生產成本的裝配順序[1]的優化模型，通過遺傳算法求解出模型。

3 問題假設

①假設汽車裝配過程中不會出現任何故障，裝配計劃不會臨時調整。

②同一種油漆噴涂時間過長時，不考慮膠結凝聚現象。

③假設噴漆過程不會出現施工質量問題。

4 模型建立與求解

每天白班和晚班裝配任務一樣，在此我們只討論白班的裝配順序。若汽車總數為偶數，晚班按同樣的裝配順序，若為奇數，則白班多裝配一輛，晚班少一輛，通過適當調整可得到。

4.1 按裝配要求劃分模塊

經分析，我們將品牌、配置、動力及驅動作為模塊1，顏色作為模塊2，分別構建模型。模塊1中，結合數據發現，品牌、動力、驅動、配置的要求復雜度依次增高，根據復雜度設置各因素討論的優先級，具體劃分如圖1所示。

圖1 模塊劃分圖

4.2 模塊1的數學模型

每班次都是按先A1后A2的品牌順序進行裝配，而每種品牌里其他因素的要求都一樣，以下我們僅討論白班中A1品牌汽車的裝配順序，其他情況討論方法一樣。

按動力劃分時，柴油汽車相比汽油汽車，數量非常少，可先裝配汽油汽車，再根據柴油的裝配要求簡單排序即可。假設A1品牌汽車有N輛，其中四驅汽車n輛，為方便討論，我們將總裝線按順序標號，即標注1,2,...,N。下面我們根據驅動和配置的要求分別構建模型。

4.2.1 根據驅動構建模型

由于四驅汽車最多連續裝配兩輛，為降低成本，我們按最大連續裝配允許量兩輛討論，所以四驅汽車應連續裝配n/2批，夾在兩批四驅汽車之間裝配的兩驅汽車為n/2-1組，令第i組兩驅汽車的數量為wi，根據要求應滿足下列條件：

③每組兩驅汽車的數量應盡量均衡，在此，我們引入均衡度α的概念，記,α越小說明每組的數量越均衡。

4.2.2 構建配置連續數量最大化模型

令白班中A1品牌中配置為Bm的車共有dm(m=1,2,… 6 輛，

由于相同配置車輛應盡量連續裝配，故以配置連續數量最大為目標函數構建模型如下：

4.2.3 模塊1的優化數學模型

根據構建的模型，我們得出優化模型Ⅰ

4.3 模塊2的數學模型

汽車進行噴涂作業時需按序依次在C1,C2線上交替進行，即總裝線上奇數位的汽車在C1線上噴涂，偶數位的汽車在C2線上噴涂。為構建模型，我們對顏色的要求進行量化處理。

1.3.1 顏色編號

我們將9種顏色依次編號，見表1。

4.3.2 符號假設

為構建模型，引入下列記號：

4.3.3 約束條件

①當汽車為藍、黃、紅三種顏色時只能在C1線上進行噴涂，即偶數位未被涂成藍、黃、紅，則需滿足，當k=3、4、5 時，Y2m,k=0 。

②當汽車為金色時只能在C2線上進行噴涂，即奇數位未被涂成金色，故Y(2m+1)8=0。

③對于總裝線上要求可連續排列的顏色，假設第k1、k2種顏色可連續排列，則這兩種顏色所在位置的序號差應為1，

④對于總裝線上要求必須間隔排列的顏色，假設第k1、k2種顏色必須間隔排列，則這兩種顏色所在位置的序號差應為2，故應滿足

⑤顏色切換應滿足

⑥同種顏色的汽車連續噴涂的最大量應不大于該種顏色汽車的數量，故要滿足

⑧當汽車為黑色時，它與其他顏色汽車在噴涂線上切換所造成的代價非常高，為降低生產成本，噴涂時黑色汽車應避免和其他顏色汽車切換，故應安排在裝配線的最前方。

4.3.4 目標函數

5 模塊2的數學優化模型

綜上，我們得到優化模型Ⅱ

4.4 汽車總裝線配置的優化模型

根據構建的Ⅰ、Ⅱ優化模型，我們得出問題的模型Ⅲ：

4.5 遺傳算法求解模型

模型Ⅲ為優化模型，求解數據較大，可以用遺傳算法來求解。遺傳算法的基本操作流程簡單明晰，具體操作如圖2所示。

以9月20日為例，品牌A1里無柴油汽車，即柴油汽車的數量取值為0，代入數值利用遺傳算法可求得。在此，列舉前20位的裝配順序，見表2。

圖2 遺傳算法流程圖

表2 9月20日裝配順序

5 模型評價

本文通過對各個約束條件的嚴謹分析，得出了較好的模型，思路清晰，結構嚴謹。但目標函數有三個且約束條件較多，求解較復雜，在一定程度上也影響到模型求解的精確度，后續仍要進一步優化。