雙二次交換作用和各向異性對反鐵磁體相變溫度的影響*

文林 胡愛元

(重慶師范大學物理與電子工程學院, 重慶 401331)(2020年1月12日收到; 2020年3月24日收到修改稿)

本文基于雙時格林函數方法, 通過對不同格點和同格點的高階格林函數分別采用Tyablikov 和Callen 退耦近似, 系統研究了雙二次型交換作用和各向異性對簡單立方晶格反鐵磁模型相變的影響. 得到了相變溫度的解析表達式, 發現相變溫度隨著各向異性的增強而升高, 但隨著雙二次型相互作用的增強而下降.

1 引 言

雙二次型(biquadratic)交換相互作用可以通過對雙線性(bilinear)相互作用進行高階展開來得到, 其強度比雙線性相互作用弱[1?3]. 實驗上可以通過微波共振技術手段觀察到[4], 對材料的性質有著重要的影響. 例如: 一維材料LiVGe2O6的磁化率[5,6]以及超導材料Ca(Ba)Fe2As2[7,8,9], FeSe[10,11]的磁激發需要引入雙二次相互作用才能合理解釋.化合物GdMg 中的雙二次型相互作用導致系統磁化強度不是按布洛赫定理的T3/2減小(T為溫度),而是T2減小[12,13]. 最近, Yu 和Nevidomskyy[14]在研究超導材料的配對狀態時發現: 適度的雙二次相互作用不僅會導致摻雜的配對對稱性、配對強度和能隙各向異性發生顯著變化, 而且是調節摻雜下各種超導態穩定性的關鍵因素.

在以往的研究中, 研究者采用不同的方法探討了雙二次型交換相互作用對鐵磁模型的磁化強度、居里溫度、磁化率的影響, 如: 平均場理論[15]、自旋波理論[16]、高溫展開法[17]、格林函數方法[18,19]等.相比鐵磁模型, 研究雙二次型交換相互作用對反鐵磁模型相變溫度影響的工作較少[19,20]. 除此以外,在實際材料中存在各向異性, 它在磁性系統相變中也扮演著至關重要的角色. 因此, 本文將采用雙時格林函數方法研究雙二次型相互作用和各向異性共同對反鐵磁模型相變的影響. 結果顯示: 交換各向異性在0 到1 取值時, 反鐵磁模型的相變溫度總是隨著雙二次型交換作用的增強而下降. 而鐵磁模型卻存在一個臨界的各向異性, 其相變溫度的大小不受雙二次型相互作用的影響, 大于臨界各向異性, 相變溫度隨著雙二次型相互作用的增強而升高, 反之下降[19].

2 理論模型

理論模型是一個三維簡單立方晶格, 它由兩個子晶格構成, 不同子晶格自旋方向相反, 每個子晶格中磁性離子的自旋量子數為1, 即S=1 . 因此,該晶格的磁結構是一個Nèel 型結構. 在這里, 采用字母a和b來分別標識這兩個子晶格, 其相應子晶格的自旋算符分別用和來標識,α=x,y,z表示自旋算符的三個分量. 因此, 一個包含了雙二次型相互作用和各向異性的簡單立方晶格反鐵磁體模型的哈密頓量可以表示為

這里J1和J2分別描述的是最近鄰自旋間雙線性和雙二次型交換相互作用.表示對最近鄰格點求和.η是交換各向異性參數, 其取值范圍為0η1 . 當η=0時, 模型退化為Ising 模型. 顯然, 越小的η對應著越強的交換各向異性.D描述的是兩個子晶格的單粒子各向異性. 選z軸為量子化軸, 取子格a的自旋方向為正, 則子晶格磁化強度定義為自旋算符的統計平均, 即:本文不作特別說明, 均取J1=1 , 探討其它參數改變時對系統性質的影響.

接下來, 采用雙時格林函數方法推導模型子晶格磁化強度的解析表達式, 基于這個目的, 構建了如下的格林函數:

這里

κB是玻爾茲曼常數. 為了方便, 令κB=1 , 則系統所有的量, 包括交換常數、磁化強度、溫度皆是一個無量綱的量.u是Callen 參數[21], 在求解格林函數的運動方程中, 其值會取零, 以此得到子晶格磁化強度的自洽方程. Θ (t) 是階躍函數. 根據雙時格林函數的標準步驟[21], (2)式的兩個格林函數的運動方程可以寫為

對同格點的高階格林函數, 采用Callen 退耦近似[23], 即:

這里,

注意: 對于同格點退耦, 兩個子晶格C1的表達式不一樣, 但它們的大小相差一個負號, 即

對于類似(3)式中的高階格林函數a,

首先近似為

然后再采用Callen 退耦近似.

采用上面的退耦近似后, 對格林函數進行空間和時間傅里葉變換, 得到兩組代數方程, 易求得傅里葉變換后的格林函數gk(ω) 和fk(ω) , 即:

這里,

其中γk是結構因子, 對于簡單立方晶格,γk=是最近鄰格點數.

令

這里N是晶格格點數, 求和遍及第一布里淵區. 通過譜定理[21], 可以求得等時關聯函數對則關聯函數可以表示為

將(11)式代入(10)式得

當溫度趨于相變點時,m是一個小量, 則(12)式的自旋波譜也是一個小量. 對(12)式右邊進行泰勒展開得

在這種情況下, (13)式可近似為

聯合(14)和(15)式, 可得系統相變溫度的解析表達式, 即:

3 結果與討論

由于晶格格點數N很大, 因此(16)式對k在第一布里淵區的求和可以變換為對k的連續積分, 即:

接下來, 通過對(16)式積分來探討雙二次型交換作用和各向異性對自旋量子數S=1 的簡單立方晶格反鐵磁模型相圖的影響.

首先探討在各向異性確定的條件下, 雙二次型交換作用對系統相變溫度的影響. 圖1 描述了單粒子各向異性D取0, 1時, 不同η(交換各向異性)值下的相變溫度TN與雙二次型交換作用J2之間的變化關系. 從總體看, 無論各向異性取何值,TN值隨著J2增大而變小. 對于確定的J2值, 系統各向異性越強(即η值越小、D值越大),TN值越大. 當η=0時,TN與J2之間呈線性關系, 且系統各向異性越強, 它們之間線性關系越明顯, 見圖1(b).當η?=0時, 在J2的臨界值附近(見圖1(b)), 相變溫度曲線下降迅速.

對比鐵磁模型的結果發現: 它們之間的差異顯著.對于鐵磁模型[19], 當D值確定時, 存在一個ηc值,此時系統 TN值不受J2影響, 即在這種情況下,TN值隨著J2的增大保持不變. 當η<ηc時,TN隨著J2的增大而升高; 當η>ηc,TN值隨著J2增大而變小. 而反鐵磁模型的TN值在 0η1 的范圍內總是隨著J2的增大而減小. 同時, 不論各向異性取何值, 鐵磁模型的TN與J2之間始終成線性關系[19].而反鐵磁模型僅在η=0時, 這種線性關系才存在.

下面討論其它理論在J2=0時的相變溫度. 當D=0.01,η=0時, 相變溫度值為4.005, 其結果比Linked-cluster series expansion 方法的3.19[24]和Ratio method 的3.19[25]要大, 比平均場得到的4.007 略小[24]. 這是因為, 對于Ising 模型, 基于格林函數的Tyablikov 近似與平均場近似是等價的,但由于本文的單粒子各向異性采用了更精確的Callen 近似, 所以本文的相變溫度值要稍小于平均場的結果. 當D=0時, 本文得到的相變溫度4.0 與平均場近似的結果是相等的. 對于D=0 ,η=1, 本文得到的相變溫度值為2.64, 其結果接 近Linked cluster series expansion (2.74)[24],Ratio method (2.72)[25]和 High-temperature series expansion method (2.73)[26].

圖1 當單粒子各向異性參數D 取0 和1時, 交換各向異性參數 η 為0, 0.5, 0.9, 1 下相變溫度 T N與雙二次型交換作用 J2 之間的關系曲線Fig. 1. Nèel temperature as a function of biquadratic exchange for the exchange anisotropic parameter η =0,0.5,0.9,1 when the single-ion anisotropic parameter D =0 and 1.

從圖1 可以發現, 對于確定的各向異性, 存在一個臨界的值. 類似地, 對于確定的J2, 也存在一個臨界的各向異性(本文沒有給出TN與η的相圖, 原因是其結果與圖1 的結果重復). 這意味著對于一個確定D, 存在一組η和J2數據, 這組數據得到的曲線是系統從有序向無序轉變的臨界曲線.圖2 給出了當D取0, 1時, 系統在參數η和J2空間中的相圖, 它清晰地給出了不同η和J2值時, 系統有序和無序轉變的邊界. 對于確定的η和J2, 系統有序區域會隨著單粒子各向異性增強而變大. 這是因為各向異性越強, 其抑制系統擾動能力越強,導致了越大的相變溫度(見圖1), 這意味著系統有序區域變大. 正是由于這個原因, 對于確定的單粒子各向異性, 有序區域會隨著η的變小(越小的η對應著越強的各向異性)而增大. 而系統的相變溫度隨著J2增大而下降, 這表明J2增大使得系統有序區域變小. 這表明對于確定的單粒子各向異性, 系統有序區域的大小實際上是η與J2之間相互競爭的結果, 即: 在J2值比較小時, 系統各向異性η占據主導作用, 于是圖2 中的有序區域隨著η的變小而增大. 當它們之間競爭達到最大時, 系統有序區域大小也隨之達到最大. 之后隨著J2的增大, 系統有序區域變小, 此時J2占據主導作用. 于是系統各向異性在達到最強的過程中(即η→0 ), 有序區域一 直在變小.

圖2 當 D =0,1時, 系統在參數 η 和 J2 空間中的相圖Fig. 2. Phase diagram of the D =0,1 in the η and J2 parameter space.

4 結 論

本文采用雙時格林函數方法, 對不同格點的高階格林函數采用Tyablikov 退耦近似, 對于同格點的高階格林函數采用Callen 退耦近似, 推導得到了子晶格磁化強度和相變溫度的解析表達式. 通過數值計算, 詳細探討了雙二次型交換作用和各向異性對系統相圖的影響. 結果表明: 相變溫度隨著各向異性的增強而升高, 但隨著雙二次型相互作用的增強而下降. 當J2=0時, 本文的相變溫度值與其它理論結果一致.

感謝清華大學物理系王懷玉教授的討論.