水中顆粒孔洞流的最大休止傾角和流量公式*

謝文韜 李若如 彭政? 蔣亦民

1) (中南大學物理與電子學院, 長沙 410083)2) (中南大學粉末冶金研究院, 長沙 410083)(2020年2月13日收到; 2020年3月9日收到修改稿)

實驗測量了完全浸泡在水中的玻璃珠顆粒樣品在重力驅動下通過不同傾角和孔徑的圓形孔洞的流量.發現與空氣中的情形類似, 不同孔徑時的流量均與傾角余弦呈良好的線性關系; 線性外推得到的零流量角,即流量休止臨界角, 隨顆粒粒徑與孔洞直徑之比d/D 的減小而線性增加; 在無窮大孔徑極限下, 此臨界角在實驗誤差范圍內與樣品的休止角一致. 此外,所有測量都可用Beverloo 公式 Q =C0ρg1/2(D ?kd)5/2 很好地擬合;其中參數 C 0 和k 僅與傾角余弦有關, 分別呈線性和平方反比關系. 與文獻報道的空氣孔洞流測量結果對比, 發現差別主要來自浮力和流體拖曳力對參數C0 的影響. 這些結果表明用傾斜孔洞流測量顆粒材料休止角的方法和Beverloo 公式具有一定的普適性. 無論顆粒間隙中填充的是水還是空氣, 孔洞流的行為在定性上是一樣的.

1 引 言

人們早就知道, 顆粒孔洞流(granular orifice flow, GOF)的流量非常穩定, 用沙漏計時比用水漏計時更加精確[1,2]. 最有名的三維顆粒孔洞流量的經驗公式由Beverloo 在1961年給出[1,3], 對于底部開口尺寸為D的料倉, 只要滿足顆粒高度H> 2D和料倉直徑F> 2D, 那么孔洞的流量就幾乎只是孔洞尺寸D的函數, 而與料倉中剩余的顆粒高度和施加于頂部的荷載壓力無關.Beverloo 流量表達式為

其中,ρ為顆粒材料的體密度,g為重力加速度,d是顆粒的平均粒徑,C0和k是取決于顆粒材料的常數. 該經驗公式有一個基于“自由下落拱”(free fall arch, FFA)假說給出的解釋[1,4?7], 這個假說認為在出口附近存在一個由出口尺寸D決定的“拱”(arch), 承受住了上方的所有壓力, 從而保證了在“拱”的下方, 顆粒是自由下落(free fall)的, 即認為料倉內的應力分布在“拱”的地方出現了較大的躍變甚至不連續的間斷. 對于直徑為D的孔洞, 顆粒從“拱”上掉落至出口的典型速度而孔洞的面積有三維孔洞流的流量至于(1)式中的kd則來自于顆粒尺寸d對孔大小D的修正. 這個圖像聽上去有一定道理, 所以孔洞附近的顆粒速度場和應力場的分布開始受到關注[7,8], 但對FFA 在GOF 中是否真實存在仍然有爭議[7,9]. 最近的計算機模擬工作顯示, FFA 即使存在也不會是傳統意義上的應力不連續的拱[7].

為了從更多側面理解GOF 的流量為什么這么穩定, 一些新的實驗方法和幾何裝置開始出現, 例如有研究人員實驗和模擬研究了外加壓力對GOF 流量的影響[10?12], 以及孔洞平面的傾斜角θ對GOF 流量的影響[13?17]. 文獻[13]發現, 對于大孔洞GOF 來說, 流量與 c osθ呈線性關系, 并認為可以保留Beverloo 公式(1)對傾斜孔洞情況的適用性, 只是將其中的系數C0和k理解為下面的傾角余 弦函數:

其中a1,a2,a3,a4是常數. 文獻[16]基于此進一步發現, 將流量對 c osθ的線性關系外推得到的零流量休止角θc與粒徑-孔徑比d/D也呈很好的線性關系, 并且在趨向零(即D趨向無窮)的極限下,給出了顆粒材料的休止角θr. 這顯示動態的顆粒流動和靜態的顆粒休止角之間存在聯系. 由于GOF 的流量很穩定, 上述傾斜GOF 的線性外推提供了一個精確測量顆粒材料休止角θr的新方法.文獻[17]在更寬廣的孔徑范圍驗證了這一結論, 并證實了GOF 測得的顆粒休止角與顆粒自由堆積角以及由庫倫屈服測得的顆粒材料內摩擦角三者的確具有一致性.

文獻[13?17]考慮的都是空氣中的顆粒樣品,近來水中的GOF 開始受到關注. 文獻[18,19]測量了沒有傾斜(θ=0 )情況的水中GOF 流量, 發現流量會在料倉接近流完時加大(即流得更快), 并認為這是間隙流體的影響. 同時還認為對于水中的GOF, Beverloo 公式(1)不再正確, 式中流量Q隨D的變化關系不再是5/2次方, 而是變為D2關系.這是由于水的粘性較大, 與空氣中自由下落的顆粒不同, 水中顆粒很容易達到一個與D無關的飽和速度vt, 從而使得GOF 的流量Q=ρvts ∝D2. 為了考察利用GOF 測量休止角θr的方法對間隙流體為水的情況是否依然有效, 本文通過將文獻[16]的裝置完全浸入水中, 測量了完全飽和水情況下的GOF 流量隨D和θ的變化關系. 結果顯示, 水與空氣的行為在定性上是一樣的, 水中的傾斜顆粒孔洞流仍然能在D趨向無窮時逼近顆粒體的休止角.特別是與文獻[18,19]不同, 測量認為Beverloo 公式(1)及其5/2 冪率仍然適用.

近年來, 對微重力環境下顆粒材料的力學行為的研究越來越受到關注[20?22]. 因水的浮力可以等效為抵消部分甚至全部重力, 所以水中實驗常被用來模擬費用昂貴的太空實驗. 有工作報道, 與休止角關系密切的顆粒材料內摩擦角在微重力極限下有增大的趨勢[21,22]. 本文的水中GOF 休止角測量方法對此有一定的參考價值. 這里沒有看到微重力實驗報道的休止角增大現象, 應該是使用的顆粒材料體密度與水相差較大, 對重力的抵消不足所致.不排除利用與水密度接近的顆粒, 可觀察到休止角增大現象. 但注意隨著流量的減小, 測量裝置的精度需要大幅度提升.

2 實驗裝置與實驗結果

如圖1(a)所示, 實驗的主要結構是一個部分浸泡在水中的鋁合金方形料倉, 料倉橫截面為100 mm × 100 mm, 高700 mm, 壁厚3 mm. 顆粒樣品采用直徑d=0.9±0.1 mm 的球形玻璃珠,在實驗過程中顆粒樣品始終位于水面以下, 處于飽和水狀態. 懸掛著料倉的剛性懸臂由兩個調節過水平的電子秤支撐(精度為0.5 g, 量程為30 kg, 采樣頻率為10 Hz). 電子秤固定在剛性支架上, 示數之和就是料倉的總質量M(t) (包含了不隨時間變化的倉壁自重和隨時間變化的顆粒質量). 實驗中隨著顆粒的流出, 電子秤示數M(t) 隨時間減少, 減少率即為GOF 的流量Q.

當顆粒從料倉中流出時, 料倉內部減少的顆粒體積需要及時由水填補, 以維持料倉內外水面高度不變和樣品的水飽和狀態, 從而防止內外的液壓差對顆粒孔洞流量的影響. 為此料倉的四個側壁均鑲嵌了密排沖孔(孔徑為0.8 mm)的不銹鋼板(圖1(b))用以透水, 以保證實驗過程中料倉內外液面保持高度一致(也保證了料倉壁在實驗過程中受到水的浮力不變).

與文獻[16]類似, 實驗測量了不同傾角θ下,7個孔徑D=4, 6, 8, 10, 14, 18, 20 mm 的M(t) 結果. 傾角θ定義為圓孔所在平面與外水平面的夾角,如圖1(c)和圖1(d)所示. 傾角大小由精度為0.1 度的傾角儀(bevel box)測出. 利用底部開孔的裝置(圖1(c))可測量θ∈[0?,45?] 的顆粒流量. 對于θ>45?的情形, 需要采用圖1(d)所示的料倉側壁開孔裝置. 在距離底部約100 mm 的高度開一個100 mm × 100 mm 的方孔, 用以嵌入圓孔D所在的硬鋁板. 為盡量減小板厚度對流量的影響, 孔洞外側加工成了如圖1(e)所示的楔形.

圖1 (a)實驗裝置示意圖; (b)料倉透水側壁照片; (c)傾角小于45 度時采用的實驗裝置; (d)傾角大于45 度時采用的實驗裝置;(e)楔形孔洞示意圖Fig. 1. (a) Schematic of the setup; (b) photograph of the permeable side wall of the silo; (c) the experimental devices used when the inclination is less than 45 degrees; (d) the experimental devices used when the inclination is greater than 45 degrees; (e) schematic of the wedge-shaped orifice D.

實驗中發現, 如果將顆粒直接從空氣置入水中的料倉, 顆粒表面會裹挾大量空氣泡, 這些氣泡在流動時會逐漸釋出, 對孔洞流量帶來顯著影響. 在孔洞較小時氣泡甚至會直接阻塞顆粒流. 因此在開始實驗之前, 需要提前將顆粒放入水桶中, 讓其在水中反復多次流動, 使氣泡充分釋出直至肉眼不可見. 之后再將去氣泡后的顆粒通過開口的側壁在液面以下加入料倉, 并且在加料的過程中始終保證顆粒不再暴露到空氣中. 通過去氣泡處理后的顆粒流量將十分穩定和可重復.

實驗開始前先將孔D塞住, 在料倉中加入去氣泡處理過的顆粒直至接近水面, 然后開放孔D, 同時采集電子秤隨時間變化的M(t) . 典型的M(t) 數據如圖2 所示. 由圖2 可以看出, 在初期GOF 有一段短暫的不穩定流動期(包括開放孔D帶來水面波動的影響), 但之后M(t) 呈現出良好的直線關系, 其斜率的負值就是GOF 的流量Q(由于測量的是料倉中顆粒的減少量, 故M(t) 斜率為負). 這個流量在很長一段時間內是穩定不變的, 如圖2 插圖所示, 40—80 s 和80—120 s 計算出來的流量Q均為6.53 g/s. 在流動的尾聲(140 s 左右),M(t) 曲線只有非常微弱(小于2%)的變陡趨勢. 沒有明顯地觀察到文獻[19]中提到的在料倉快流完時流量變大的現象. 這個分歧的原因目前不詳. 但快流完的情況不是關注的重點, 本文僅研究中間段的穩定流量Q隨D和θ的變化關系.

圖2 D=14mm,θ=90?時典型的 M (t) 數據;左下和右上插圖分別為從主圖中摘出的40?80s 及80?120s的 M (t) 數據, 均呈良好的線性關系.由這兩段數據計算得到的流量 Q 沒有差別, 均為6.53 g/s,表明流量非常穩定Fig. 2. Typical data of M(t) at D = 14 mm, ;the lower left and upper right insets are the data of 40?80 s and 80?120 s extracted from the main graph, both of which show good linearity. Both flow rates Q calculated from these two insets are 6.53 g/s, indicating that the flow is very stable.

對于每一給定的D和θ重復三次實驗, 平均值記為對應的流量Q(D,θ) , 結果見圖3(a)所示. 雖然水中操作的擾動比空氣中的實驗略大, 但在去除氣泡后水中的GOF 流量仍然非常穩定, 實驗重復性好, 三次測量的偏差均小于數據點圖標的大小,因此圖3a 的實驗數據點沒有標出誤差棒.

與文獻[16]的空氣實驗結論一樣, 對不同孔徑D, 流量Q均隨著角度θ的增大而逐漸減小, 并與cosθ呈良好的線性關系(圖3(a)). 注意對較小的D(如D= 4 mm)而言, 因GOF 在傾角較小時流動就停止了, 所以測量時 c osθ的取值范圍也相應變 小.

圖3 (a)不同孔徑D 下流量Q 隨傾角余弦 c os θ 的變化,實線為直線擬合; (b)用水平( θ =0? )流量 Q 0 歸一化的流量 Q /Q0 隨傾角余弦 c os θ 的變化關系, 實線為公 式(3)的擬合結果; (c)臨界流量休止角 θc 隨粒徑-孔徑比d/D 的變化關系, 實線和 θ0 為直線擬合結果Fig. 3. (a) The variation of flow rateQ with the inclination cosine c os θ at different orifices D, where the solid line is a linear fit; (b) variation of the normalized flow rate Q/Q0 with c os θ , where Q 0 is the rate at θ =0? , and the solid line is the fitted result of equation (3); (c) the relationship between the critical angle of flow ceasing θc and the ratio d/D, where the solid line and θ0 are results of linear fitting.

3 流量與休止角

按照與文獻[16]類似的分析和處理方式, 用θ=0?的水平GOF流量Q0對Q進行歸一化, 得到圖3(b)所示的Q/Q0與 c osθ的線性關系. 這時所有的直線均過坐標點(1, 1), 只有斜率一個參量, 所以有

其中,θc表示不同D下流量Q=0時的傾角, 是孔徑D的函數. 與文獻[16]的結論類似,θc與d/D的函數關系仍然是線性的(圖3(c)). 用下面公式:

擬合, 得到D→∞時的零流量傾角θ0=156?±4?和的補角θr=180??θ0=24?±4?對應無限大顆粒自由平面極限下的休止角[16,17]. 用同樣顆粒材料在水中堆積錐形沙堆, 測得水中沙堆休止角約在 23?至 25?之間, 與(4)式外推得到的結論相符. 這些結果表明, 無論在空氣中還是水中,都可以用傾斜GOF 的方法測量顆粒材料休止角.注意由于GOF 在水中流動時受間隙流體的影響比空氣中要大, 所以測量值的漲落要略大于空氣中的實驗.

在文獻[16]中用同樣顆粒材料測得的空氣中的休止角為 27?±3?. 雖然略高于本文的水中結果,但在誤差范圍內還是吻合的. 水中與空氣中的休止角是否存在微弱差別, 還有待仔細測量. 定性上看,空氣中的休止角多少會受濕度導致的顆粒間濕粘力(cohesive force)影響而變大. 這個現象在文獻[18]中也被觀察和提到. 另外如引言所述, 由于水中的浮力遠大于空氣中的, 水中顆粒樣品的應力明顯小于空氣中的應力, 圖1 裝置可用于研究航天領域關心的微重力下顆粒休止角變大的現象. 本文未觀測到休止角變大現象, 原因很可能是采用的玻璃珠和水的密度比(約為5:2)不夠接近1 導致的. 今后值得考慮用更接近水密度的顆粒材料來研究和逼近這個微重力現象.

4 Beverloo 公式

圖3 的實驗數據可以用公式(1)和(2)很好地擬合. 如圖4(a)所示, 對所有不同的傾角θ, 流量Q隨D的變化關系都能很好地滿足5/2次冪, 實驗結果并不支持文獻[18,19]提到的Q與D2成比例的結論. 這還可以在圖4(a)的插圖中, 從Q2/5和D的直線關系中得到驗證.

由于冪次2/5 和1/2 的差別不大, 如果嘗試擬合Q1/2與D的直線關系, 結果也顯得不錯(這可能也是文獻[18,19]認為其合理的原因). 盡管兩種冪次公式對本文數據的擬合相關系數(Adj. R-Square)均大于0.99(相關系數越接近1 代表擬合程度越好), 2/5次冪的公式在擬合度上仍然要略高一點.因此更傾向支持Beverloo 公式(1)對于各種傾角的水中GOF 均成立, 其中參數C0和k隨傾角余弦cosθ的變化關系滿足公式(2)(圖4(b)和圖4(c)).

圖4 (a)用Beverloo 公式(1)和(2)擬合圖3 數據的結果,插圖為不同傾角時 Q 2/5 隨D 的變化關系, 實線為線性擬合; (b), (c)Beverloo 參數 C 0 和 k 隨 cos θ 的變化關系, 及其用公式(2)的擬合情況. 圖(c)中的插圖是 k ?2 隨cos θ 的變化關系Fig. 4. (a) Results of fitting the data in Figure 3 using the Beverloo formula (1) and (2), the inset is the change of Q2/5 with D at different inclination, and the solid line is a linear fit; (b) and (c) variations of the parameters C 0 and k with c os θ , and solid lines are results of fits by using equation (2). The inset in (c) is the change of k ?2 with cos θ.

雖然公式(2)對于水中和空氣中的GOF 都有效, 但在同樣條件下水中的GOF 流量明顯小于空氣中的流量(圖5(c)—(f)). 這個流量差別, 主要由參數C0來描述(圖5(a)). 參數k隨 cosθ的變化情況對水和空氣不敏感(圖5(b)). 另外從圖5(c)—(f)的插圖也可以看到,k對流量的影響也基本與水還是空氣無關, 只在較大傾角時才出現一點差別. 在Beverloo 公式中,k與孔徑變小導致的流量阻塞停止(clogging)有關. 同樣傾角下, 水中GOF 與空氣中GOF 有著幾乎同樣的k, 顯示這個阻塞機制與間隙流體的種類關系不大.

從圖6(a)可以看到, 水和空氣的Beverloo 系數C0的比值基本上是一個與傾角無關的常數0.37.另外流量比值與0.37 的偏差會隨著孔徑D的減小和傾角的增加而變大圖6(b). 顯然這個偏差反映的是Beverloo 公式中系數k的效果. 值得指出的是,間隙流體對顆粒的作用有浮力和粘滯拖曳力. 前者的效果可通過將重力加速度乘以密度變化比(ρ ?ρ流體)/ρ來描述(ρ=ρ顆粒是顆粒材料體密度).對Beverloo 公式(1)中的g做此處理, 得出水中與空氣中GOF 的C0比值為0.78(忽略空氣密度), 明顯大于圖6(b)的0.37. 這意味著水的拖曳力(即粘滯力)對GOF 流量有顯著影響.

因實驗數據很少, 水的粘滯系數η對C0的影響還不能給出可靠的經驗公式. 受流體中勻速下落的單個顆粒的末速度反比于η的啟發, 本文建議采用下 面的三參數模型

來擬合C0與η的關系. 其中C0vac為真空的C0值,η0和冪率a可理解為反映密集多顆粒效應的參數.當a趨向1,η0趨向0時, 它退化為單個顆粒的情況. 由于目前只有水和空氣的兩個C0數據0.37 和0.78, 還不能確定模型的參數及其適用性. 如果取冪率a=1 , 水和空氣的粘滯系數分別為1.0×10?3Pa·S與1.8 × 10–5Pa·S, 得到參數為C0vac=0.796,η0= 0.868 × 10–3Pa·S.

圖5 (a)和(b)是水中(實心方點)和空氣中(空心圓點)GOF 的Beverloo 參數 C 0 和k 隨cos θ的變化;(c)?(f)分別為θ =0?,60?,90?,120?時, 水中和空氣中GOF 流量Q 隨D 的變化, 插圖是 Q /C0 隨D 的變化. 空氣中的實驗數據來自文獻[16]Fig. 5. (a) and (b): Beverloo parameters C 0 and k of GOF in water (solid squares) and in air (hollow circles) as a function of cos θ ;(c)?(f): the changes of GOF flow rate Q with D in water and in air when θ =0?,60?,90?,120? , respectively, and the inset is the change of Q /C0 with D. The experimental data in air comes from ref. [16].

圖6 水和文獻[16]空氣的(a) Beverloo 系數 C 0 和(b) GOF流量 Q 的比值Fig. 6. Ratio of (a) Beverloo coefficient C 0 and (b) GOF flow rate Q in water and in air (from Ref. [16]).

5 結 論

本文測量了不同傾角θ和孔徑D下, 完全浸泡于水中的顆粒物質(玻璃珠)在重力驅動下從圓形孔洞卸載時的GOF 流量. 得到的結論如下:

1)與文獻[16,17]報道的空氣情形類似, 對所有孔徑值, 流量Q都與傾角余弦 c osθ呈良好的線性關系. 由此線性外推給出的流量休止臨界角θc隨粒徑-孔徑比d/D的減小也呈良好的線性增加關系,并且在無窮大孔徑極限d/D →0 下的線性外推值θ0與顆粒材料休止角相符. 這表明用傾斜孔洞流的方法同樣可以測量材料在水中的休止角.

2)得到的水中休止角略微小于文獻[16]報道的用同樣方法測量的空氣休止角. 這可能是因空氣濕度導致的顆粒間粘力所致.

3)所有測量數據都可以用5/2 冪率的Beverloo公式很好地擬合, 并且與空氣情況一樣, 系數C0和k隨孔洞傾角余弦cosθ的變化分別符合線性和平方反比關系.

4)通過與空氣GOF 的測量結果[16]比較, 發現間隙流體種類(水或空氣)對Beverloo 公式系數k的影響不大, 但對系數C0有大約0.37 的固定比例影響. 后者不能完全用浮力導致的重力加速度g減小來解釋, 意味著水施加于顆粒的拖曳力對GOF 有顯著影響.

5)鑒于水和空氣都屬于牛頓流體, 二者的GOF 行為在定性上應該保持一致, 例如Beverloo公式的有效性和給出的休止角. 故不傾向[18,19]中提出的水中GOF 的流量與D2成比例的提議.從本文的測量結果看不出有修改Beverloo 公式冪率的必要.