“得比換比”證相似

文 李長春（特級教師）

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學）

用好教材例題，充分發揮其引領作用，能給大家的學習帶來積極的影響。下面老師結合蘇科版教材九（下）第58頁例4，與大家談談“證明相似形—得到相似比—換成需要比—再證相似形”的問題。

【原題再現】如圖1，點D在△ABC內，點E在△ABC外，且∠1=∠2，∠3=∠4。△DBE與△ABC相似嗎？為什么？

解題過程見教材。

圖1

【拓展一】（2017·江蘇宿遷）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B、C重合），滿足∠DEF=∠B，且點D、F分別在邊AB、AC上。

圖2

（1）求證：△BDE∽△CEF；

（2）當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分∠DFC。

【思路分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，根據“三角形的內角和”及“平角的定義”得∠BDE=∠CEF，于是得到結論；（2）根據相似三角形的性質得到等量代換得到，根據相似三角形的性質即可得到結論。

證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，

∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，

∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

∴△BDE∽△CEF。

（2）∵△BDE∽△CEF，。

∵點E是BC的中點，∴BE=CE，

又∵∠DEF=∠B=∠C，

∴△DEF∽△ECF，

∴∠DFE=∠CFE，

∴FE平分∠DFC。

【拓展反思】本題由“∠DEF=∠B=∠C（一線三等角）”證得“△BDE∽△CEF（相似兩邊找）”，在此基礎上，得到相似比，再將BE換成CE，形成新的比，最后再換成兩個三角形的對應邊的比，結合其夾角相等，得出要證明的結論，形成“證明相似形—得到相似比—換成需要比—再證相似形”的思維鏈，將教材例題的功能充分發揮。另外，在證明∠BDE=∠CEF時，還可以運用外角性質，由∠CEF+∠DEF=∠CED=∠BDE+∠B，結合∠DEF=∠B，立即得到∠CEF=∠BDE。

【拓展二】（2018·江蘇揚州改編）如圖3，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M。

求證：（1）MP·MD=MA·ME；

（2）2CB2＝CP·CM。

圖3

【思路分析】（1）通過等積式倒推可知，需要證明△MPE∽△MAD或證明△PAM∽△EDM。結合條件可知，需要證明∠PEM=∠ADM或∠APM=∠DEA。對于前者，需要證明△BAE∽△CAD（兩邊成比例且夾角相等）。（2）等式左邊2CB2可以轉化為所以問題轉化為證明CA2=CP·CM。在（1）的基礎上得到比：結合對頂角相等證得△PAM∽△EDM，得到∠APM=90°后，在此基礎上再證明△CAP∽△CMA即可。你能根據上述思路分析寫出詳細解答過程嗎？

【拓展反思】本題是以教材例題研究問題的思路設計的兩小問，均通過證明兩次相似解決問題，且第一次相似都在為第二次相似的證明做準備。我們在分析證明方法時可以逆向思考，執果索因，即利用“得比換比”證明相似。