VTI介質(zhì)彈性波相速度擴(kuò)展各向異性線性近似

谷一鵬 印興耀② 梁 鍇*② 張佳佳②

(①中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580；②海洋國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評(píng)價(jià)與探測技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室,山東青島 266071)

0 引言

各向異性是沉積巖中普遍存在的現(xiàn)象[1]。在地震數(shù)據(jù)處理中，尤其在面對復(fù)雜構(gòu)造時(shí)，常常假設(shè)地球介質(zhì)為各向同性，但是地球介質(zhì)多呈各向異性，因此需要研究各向異性介質(zhì)的物理性質(zhì)。沉積巖的地震各向異性多呈速度各向異性[2]，人們廣泛研究了與此有關(guān)的正、反演問題[3-11]。

Delay[12]推導(dǎo)了TI介質(zhì)中精確的速度與波傳播方程。Thomsen[1]提出了3個(gè)各向異性參數(shù)ε、δ和γ，大大簡化了上述方程，由于適用條件的限制，稱為弱各向異性方程。Alkalifah等[13]提出了表征橢圓各向異性的參數(shù)η。類比于VTI介質(zhì)的Thomsen參數(shù)，Rüger等[14]引入了一套表征HTI介質(zhì)的各向異性參數(shù)。Tsvankin[15]進(jìn)一步將Thomsen參數(shù)推廣到正交各向異性(OA)介質(zhì)。牛濱華等[16]認(rèn)為在一般情況下，ε和γ的單調(diào)性是一致的，即同時(shí)增減或?yàn)?。Sarout等[17]通過實(shí)驗(yàn)研究了Callovo-Oxfordian頁巖彈性波速度各向異性。李磊等[18]提出了常見的TI介質(zhì)的Thomsen參數(shù)約束條件，避免了無物理意義的研究結(jié)果。蘇云等[19]討論了弱各向異性介質(zhì)地震波傳播特征。姚振岸等[20]分析了對稱軸呈任意空間取向的TI(ATI)介質(zhì)彈性波速度特征。梁鍇等[21]闡述了傾斜橢球各向異性介質(zhì)彈性波傳播特征。李勤等[22]論述了垂向裂隙各向異性煤層地震響應(yīng)特征。

在各向異性近似的研究方面，梁鍇等[23]利用弱各向異性近似和介質(zhì)分解理論，推導(dǎo)了TTI介質(zhì)qP波入射的近似反射、透射系數(shù)。吳國忱等[24]利用介質(zhì)分解理論和地震波擾動(dòng)理論，在保留各向異性一階擾動(dòng)量的基礎(chǔ)上，建立了地震各向異性參數(shù)和巖石力學(xué)參數(shù)間的近似方程，可預(yù)測各向異性巖石的力學(xué)參數(shù)。梁鍇等[25]從TTI介質(zhì)彈性波相速度精確公式出發(fā)，推導(dǎo)了TTI介質(zhì)qP波和qSV波相速度的一般性近似表達(dá)式。

本文提出VTI介質(zhì)彈性波相速度的擴(kuò)展各向異性線性近似，即在相速度精確表達(dá)式函數(shù)曲線與擴(kuò)展各向異性線性近似函數(shù)曲線切點(diǎn)處(下稱切點(diǎn)，附錄A)進(jìn)行一階Taylor展開，構(gòu)造雅可比矩陣，得到擴(kuò)展各向異性線性近似公式。該方法通過改變線性近似的切點(diǎn)，使擴(kuò)展各向異性線性近似適用于各向異性較強(qiáng)的情況。同時(shí)給出了相應(yīng)數(shù)值示例，分析了介質(zhì)各向異性程度不同時(shí)擴(kuò)展各向異性線性近似的適用性。

1 方法與原理

1.1 VTI介質(zhì)精確彈性波相速度

VTI介質(zhì)有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，分別為C11、C33、C44、C66、C13。Delay[12]推導(dǎo)的彈性波相速度公式為

(1)

式中：θ為傳播角；ρ為介質(zhì)密度；而

D(θ)={[(C11-C44)sin2θ-(C33-C44)cos2θ]2+

(2)

Thomsen[1]提出了以下各向異性參數(shù)

(3)

式中：α0、β0分別為qP波和qS波垂直TI介質(zhì)各向同性面的相速度；ε、δ和γ為表征TI介質(zhì)各向異性強(qiáng)度的三個(gè)無量綱因子，其中ε是度量qP波各向異性強(qiáng)度的參數(shù)，δ是影響TI介質(zhì)對稱軸方向附近的qP波速度的參數(shù)，γ是度量qS波各向異性強(qiáng)度或橫波分裂強(qiáng)度的參數(shù)。使用Thomsen參數(shù)改寫式(1)，得

(4)

式中

(5)

而

(6)

1.2 弱各向異性線性近似

通過觀察發(fā)現(xiàn)，盡管礦物成分可能是高度各向異性的，但是大多數(shù)巖石只呈微弱的各向異性[1]。式(4)雖然用各向異性參數(shù)表征相速度，但難以看出該式的物理意義。在各向異性參數(shù)的絕對值遠(yuǎn)小于1的情況下，Thomsen[1]在各向異性參數(shù)等于0時(shí)，將式(4)Taylor展開，并保留一階項(xiàng)，得到VTI介質(zhì)弱各向異性彈性波相速度近似方程

(7)

式(7)形式簡潔，相速度為ε、δ和γ的線性函數(shù)，且

(8)

由式(8)可見：ε反映了縱波速度各向異性強(qiáng)度，ε越大，縱波速度的各向異性越強(qiáng)，ε等于0時(shí)，縱波速度呈各向同性；γ反映了橫波速度各向異性強(qiáng)度；δ只與VP(0°)、VP(45°)和VP(90°)有關(guān)。

1.3 擴(kuò)展各向異性線性近似

本文提出了擴(kuò)展各向異性線性近似，即在切點(diǎn)(ε0,δ0,γ0)處進(jìn)行一階Taylor展開，構(gòu)造雅可比矩陣，得到擴(kuò)展各向異性線性近似公式。首先根據(jù)式(4)對各向異性參數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)，得

(9)

式中

(10)

使用在切點(diǎn)(ε0,δ0,γ0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成雅可比矩陣

(11)

因此，式(4)變?yōu)?/p>

(12)

式中VP0(θ)、VSV0(θ)和VSH0(θ)為式(4)在切點(diǎn)(ε0,δ0,γ0)處的值。式(12)為VTI介質(zhì)擴(kuò)展各向異性線性近似彈性波相速度公式。

2 數(shù)值示例

2.1 弱各向異性線性近似適用性分析

本文分析了各向異性參數(shù)變化對理論相速度和弱各向異性線性近似相速度的影響。以Berea砂巖[1]為例(表1)，在ε、δ和γ中只有一個(gè)發(fā)生變化時(shí)，繪制彈性波精確相速度(式(4))和弱各向異性線性近似相速度(式(7))隨各向異性參數(shù)的變化曲線(圖1)，其中θ分別為0°、45°和90°。分析圖1可知：

(1)式(7)是式(4)在切點(diǎn)(0,0,0)的線性近似，無論各向異性參數(shù)小于0還是大于0，在一般情況下如果各向異性參數(shù)的絕對值增大，式(4)與式(7)計(jì)算結(jié)果的差異變大。

圖1 Berea 砂巖速度隨各向異性參數(shù)變化曲線(a)VP-ε； (b)VSV-ε； (c)VP-δ； (d)VSV-δ； (e)VSH-γ

表1 Berea砂巖的各向異性參數(shù)表[1]

(2)δ對θ為0°和45°時(shí)的qP波和qSV波的速度無影響(圖1c、圖1d)。

(3)式(7)在各向異性參數(shù)的絕對值小于0.2時(shí)擬合精度很高，由式(7)與式(4)計(jì)算的相速度曲線幾乎重合。

2.2 各向異性參數(shù)絕對值較小時(shí)情況

Thomsen[1]給出的弱各向異性線性近似的條件為各向異性參數(shù)的絕對值小于0.2，故本文也將其定義為弱各向異性線性近似適用條件。選取三種各向異性參數(shù)絕對值較小的巖石模型(表2)，分別利用式(4)、式(7)和擴(kuò)展各向異性線性近似彈性波相速度公式(式(12))計(jì)算彈性波相速度(圖2～圖4)。

表2 各向異性參數(shù)絕對值較小的巖石模型參數(shù)[1]

圖2 由不同方法計(jì)算的Berea 砂巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖3 由不同方法計(jì)算的Green River 頁巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

由圖2～圖4可見：在Thomsen[1]弱各向異性近似適用條件下，式(7)、式(12)均與式(4)的擬合度很高，并且由式(7)和式(12)得到彈性波相速度曲線基本重合，說明當(dāng)切點(diǎn)為(0,0,0)時(shí)兩者的計(jì)算結(jié)果基本相同。

2.3 各向異性參數(shù)絕對值較大時(shí)情況

選取二種各向異性參數(shù)絕對值較大(絕對值大于0.2)的巖石模型(表3)，利用式(4)、式(7)和式(12)計(jì)算彈性波相速度及其相對誤差(圖5～圖8)。

圖5、圖6分別為由不同方法計(jì)算的Calcareous砂巖彈性波相速度曲線及其相對誤差。由圖可見：①由式(12)得到的VP和VSV的精度明顯高于式(7)(圖5a、圖5b、圖6a、圖6b)，如由式(12)得到的VP和VSV的最大相對誤差分別為0.10%、-0.13%，由式(7)得到的VP和VSV的最大相對誤差分別為1.51%、-1.78%；②由式(7)和式(12)得到的VSH的精度相同，最大相對誤差均為0.0025%(圖5c、圖6c)，這是由于VSH的各向異性只與γ有關(guān)，且Calcareous 砂巖的γ在弱各向異性適用范圍內(nèi)所致。

圖7、圖8分別為由不同方法計(jì)算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線及其相對誤差。由圖可見：在Mesaverde泥頁巖的各向異性參數(shù)絕對值大于0.2的情況下(表3)，由式(12)得到的VP、VSV和VSH的精度明顯高于式(7)，如由式(12)得到的VP、VSV和VSH的最大相對誤差分別為0.46%、-0.35%、0.89%，由式(7)得到的VP、VSV和VSH的最大相對誤差分別為4.83%、-12.49%、6.87%。

表3 各向異性參數(shù)絕對值較大的巖石模型參數(shù)[1]

圖4 由不同方法計(jì)算的Silty 灰?guī)r彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖5 由不同方法計(jì)算的Calcareous 砂巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)式(12)在切點(diǎn)處的各向異性參數(shù)分別為ε0=0、δ0=-0.3,γ0=0

圖6 由不同方法計(jì)算的Calcareous 砂巖彈性波相速度曲線相對誤差(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖7 由不同方法計(jì)算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)式(12)在切點(diǎn)處的各向異性參數(shù)分別為ε0=0.3、δ0=0.3和γ0=0.3

圖8 由不同方法計(jì)算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線相對誤差(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

3 討論

弱各向異性線性近似是在切點(diǎn)(0,0,0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似，所以當(dāng)各向異性參數(shù)的絕對值增大時(shí)，弱各向異性線性近似所得結(jié)果的誤差也會(huì)相應(yīng)地變大。當(dāng)各向異性參數(shù)的絕對值很小時(shí)，弱各向異性線性近似所得結(jié)果的精確度很高，此時(shí)認(rèn)為介質(zhì)的各向異性較弱。

針對某些各向異性較強(qiáng)的巖石，如Mesaverde泥頁巖，因?yàn)椴糠指飨虍愋詤?shù)絕對值很大，所以由弱各向異性線性近似計(jì)算的相速度有較大誤差。在該情況下，弱各向異性線性近似的誤差大，可以使用擴(kuò)展各向異性線性近似。

至于切點(diǎn)的選取問題，筆者認(rèn)為，在各向異性較強(qiáng)的情況下可以選取各向異性參數(shù)的絕對值在0.2～0.8范圍的點(diǎn)作為切點(diǎn)，因?yàn)門homsen[1]的強(qiáng)各向異性巖石的各向異性參數(shù)大多位于該范圍，本文選擇的切點(diǎn)處的各向異性參數(shù)的絕對值均為0.3。如果選擇的切點(diǎn)處的各向異性參數(shù)的絕對值太小，由擴(kuò)展各向異性線性近似與弱各向異性線性近似得到的結(jié)果幾乎完全一致；如果選擇的切點(diǎn)處的各向異性參數(shù)的絕對值太大，會(huì)失去物理意義。某些礦物的各向異性極強(qiáng)，如部分水晶的各向異性參數(shù)的絕對值甚至超過1，對這種礦物可以適當(dāng)?shù)卦诟飨虍愋詤?shù)絕對值較大處做切線。

在巖石物理實(shí)驗(yàn)中由測得的聲波速度估算巖石樣本各向異性參數(shù)時(shí)，可根據(jù)擴(kuò)展各向異性線性近似公式快速估算各向異性參數(shù)近似值，且速度快，穩(wěn)定性較好。另一方面，可以以擴(kuò)展各向異性線性近似公式為理論基礎(chǔ)，探討中強(qiáng)各向異性介質(zhì)分界面處的反射、透射特征及其近似公式，期望為后續(xù)AVO分析、AVO反演、阻抗反演等提供基礎(chǔ)。

4 結(jié)論

本文從VTI介質(zhì)彈性波精確相速度公式出發(fā)，在切點(diǎn)處進(jìn)行一階Taylor展開，構(gòu)造雅可比矩陣，推導(dǎo)了VTI介質(zhì)彈性波相速度的擴(kuò)展各向異性線性近似公式。該方法通過調(diào)節(jié)線性近似的切點(diǎn)，可以適用于各向異性較強(qiáng)的情況。理論分析和數(shù)值示例表明：當(dāng)各向異性參數(shù)絕對值較小時(shí)，弱各向異性線性近似和擴(kuò)展各向異性線性近似所得結(jié)果均與理論值吻合較好；當(dāng)各向異性參數(shù)絕對值較大時(shí)，弱各向異性線性近似所得結(jié)果與理論值偏差較大，擴(kuò)展各向異性線性近似所得結(jié)果與理論值吻合較好。說明擴(kuò)展各向異性線性近似不但適用于各向異性參數(shù)較小的情況，而且也適用于各向異性參數(shù)較大的情況。

附錄A VTI介質(zhì)彈性波相速度擴(kuò)展各向異性線性近似誤差分析

VTI介質(zhì)彈性波相速度擴(kuò)展各向異性線性近似的絕對誤差為

(A-1)

弱各向異性線性近似是在點(diǎn)(0,0,0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似，所以當(dāng)各向異性參數(shù)的絕對值增大時(shí)，弱各向異性線性近似所得結(jié)果的誤差也會(huì)相應(yīng)地變大。由式(A-1)可以看出：擴(kuò)展各向異性線性近似是在切點(diǎn)(ε0，δ0，γ0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似；一定存在一個(gè)包含切點(diǎn)(ε0，δ0，γ0)的鄰域，在該鄰域內(nèi)絕對誤差最小(相較于其他切點(diǎn)的線性近似而言)。因?yàn)閿U(kuò)展各向異性線性近似可以選取各向異性參數(shù)的絕對值較大處作為切點(diǎn)，所以在各向異性參數(shù)絕對值較大的情況下，一定存在一個(gè)包含切點(diǎn)(ε0，δ0，γ0)的區(qū)間，使擴(kuò)展各向異性線性近似的絕對誤差(或相對誤差)小于弱各向異性近似。