基于螺旋優化的三元復合驅模糊多目標最優控制求解

時宇環,李琦,葛玉磊

(1. 中石油華東設計院有限公司,山東 青島 266071;2. 青島鼎信通訊股份有限公司,山東 青島 266109)

三元復合驅是一種重要的提高采收率技術，通過在水中加入堿、表面活性劑和聚合物等，以改善流體性質，改變巖層孔隙表面物理特性，從而降低含水率，增加原油產量[1]。但是驅替劑的價格昂貴，三元復合驅往往存在投資高、風險大、開采難度大的特點[2]。因此如何科學地制定開采方案，確定最佳的驅替劑注入濃度，以最大限度地提高采收率，是當前油田研究的一大難點。

目前國內三元復合驅的方案優化主要采用指標對比法[3]，該方法通過注入濃度、段塞大小等不同優化參數的組合，形成不同的注采策略，然后采用不同的策略計算模型，評價分析各個策略相應的指標，從而確定最優注采策略。該方法雖然便于實施，但是過多地依賴操作者的經驗，而且缺乏嚴格的理論依據，很難得到最優的注采策略。最優控制是一種求解油田開發的有效方法。文獻[4]采用極大值原理優化了表面活性劑驅提高原油采收率的注采策略，并根據梯度推導出最優控制存在的必要條件。但是由于油藏滲流機理的復雜性，伴隨方程的計算往往十分復雜。文獻[5]提出了一種混合整數迭代動態規劃方法優化聚合物驅的最優注采策略，考慮了段塞大小的整數限制，實現了注入濃度和段塞大小的同時優化，目前對于提高采收率的研究大部分集中在水驅和單一化學驅，對于三元復合驅的研究還很缺乏。文獻[6]提出了一種混合螺旋優化算法，通過引入柯西變異，提高了標準螺旋優化算法的全局收斂性和收斂速度，并用于求解三元復合驅的提高原油采收率問題，取得了很好的效果。但是上述方法都沒有考慮多目標和生產指標的不確定性。1965年，Zadeh[7]教授發表了關于模糊集合的第一篇開創性論文，由此創立了模糊集理論和模糊數學，為模糊最優控制的求解奠定了基礎。Lejeune[8]提出了一種布爾建模框架并建立了多目標金融投資優化模型，并針對該模型求解了帶有變量風險集的多目標概率約束規劃問題。Rashid[9]采用水平截集法，引入凸模糊集并定義了其凝聚函數子集，將模糊多目標問題轉化成確定性單目標問題處理。雖然尚未有關于三元復合驅模糊最優控制問題的求解文獻，但是模糊最優控制理論的發展，為求解該問題提供了理論依據。

本文針對三元復合驅生產過程中多個指標的不確定問題，提出了一種模糊多目標最優控制求解方法。首先基于三元復合驅的驅油機理，考慮多個生產指標的不確定性，建立了模糊多目標最優控制模型。其次，定義隸屬度函數，描述了每個指標的不確定性，借鑒對稱模型的思想和λ水平截集迭代法，提出一種將模糊多目標處理成確定性單目標問題的方法。最后采用混合螺旋優化算法求解該問題，針對三元復合驅實例，得到各個性能指標最佳結合度下的最優注采策略。

1 三元復合驅多目標最優控制模型

1.1 支配方程

三元復合驅問題的基本假設條件如下[1,6,10]：

1)地層均質，油藏等溫，且吸附現象滿足Langmuir等溫吸附公式。

2)Darcy定律適合化學劑存在情況下的油水兩相。

3)各種吸附都達到平衡，相平衡瞬間建立，且滿足廣義Fick定律。

4)流體和巖石微可壓縮，考慮重力和毛管力的影響，忽略驅替劑對水溶液質量守恒的影響，考慮驅替劑引起的水相滲透率以及水相黏度的變化，并且考慮聚合物的不可及孔隙體積。

油相滲流方程：

(1)

水相滲流方程：

(2)

聚合物吸附擴散方程：

(3)

表面活性劑吸附擴散方程：

(4)

堿組分對流擴散方程：

(5)

初始條件：

p(x,y,z,t)|t=0=p0,

(6)

邊界條件：

(7)

采出井含水率定義為

(8)

公式(1)～(8)中，井的流速項定義如下：

(9)

式中:vo,vw——油相和水相的流速;vc,vd,ve——井筒驅替劑的運移速度；vin,vout——注入井的注入速度和采出井的采出速度。方程中其他參數的含義及表達式參見文獻[6，10]。

1.2 最優性能指標及控制函數

總利潤最大：

(10)

總產量最大：

(11)

噸油成本最小：

(12)

總投資最小：

(13)

式中：χ——折現系數；Υo,ΥΘ——原油、驅替劑的價格系數；Υcost——單位時間的生產成本；dσ, dt——空間和時間的微元；Z——指標函數，下標R,Q,C,I分別為利潤、產量、噸油成本和總投資。

對于實際的原油開采，往往存在一些模糊的生產要求。假設總利潤不得低于Re，總產量不得低于Qe，噸油成本不得高于Ce，總投資不得高于Ie。要使得這幾個條件同時成立，求得最優注采策略，會導致該優化問題無解，因此，要綜合考慮各個目標，使得在所有目標都滿足的情況下，各目標均達到相對最優水平(即各目標的最佳結合度)，求得相應的最優注采策略。則模糊多目標可重新寫為

(14)

油藏開采一個周期往往5～10 a，很難做到驅替液注入濃度的連續變化。因此，在工業生產中，驅替液通常采用階梯式段塞注入方式，即配置好驅替液后在一定時間內保持濃度不變，連續注入。其具體形式可以用分段函數表示[11]，即

(15)

式中： 前P個段塞為驅替液注入采油，最后1個段塞為水驅。

1.3 約束條件

驅替劑用量約束：

(16)

式中：MΘmax——三種驅替劑的總用量。

注入濃度約束：

0≤ρΘin≤ρΘmax

(17)

式中：ρΘmax——三種驅替劑的最大注入濃度。

2 基于混合螺旋優化算法的模糊多目標最優控制求解

2.1 確定性模型描述

對于第一節中以公式(14)為目標的模糊多目標最優控制問題，需要轉化成確定性單目標問題才能進行求解。為了進行確定描述，為每個指標定義如下隸屬度函數。

利潤隸屬度：

(18)

產量隸屬度：

(19)

噸油成本隸屬度：

(20)

總投資隸屬度：

(21)

式中：Re,Qe,Ce,Ie——總利潤、原油總產量、噸油成本、總投資的期望值；Rl,Ql——總利潤、原油總產量的下限值；Cu,Iu——噸油成本、總投資的上限值。

為了方便模型處理，先將第一節中的多目標模糊規劃中的模糊目標處理成一致的求最大值，則相應的噸油成本和總投資的性能指標以及隸屬度函數可寫作如下形式：

(22)

(23)

(24)

(25)

2.2 基于對稱模型和水平截集的模糊多目標處理

一般在處理多目標問題時，往往采用權重法進行處理[12]，即根據對每個生產指標的側重程度，給定不同的權重，然后對加權指標求和。然而該方法往往求得的是一定綜合程度上的最優解，不能得到所有指標滿意度最大的解。本節中，參考對稱模型的對稱思想，結合模糊規劃的λ水平截集的方法提出了一種將多目標模糊最優控制轉化為確定性單目標問題的方法，該方法能科學地考慮各個指標，求得滿足每個指標的最大滿意度解。

由于在Werner的對稱模型中[13]，認為模糊目標和模糊約束的地位是對稱的，結合該思想，該節模糊多目標規劃問題只包含模糊目標，而約束都是確定的，因此通過引入權重反映對各個指標的側重程度，將地位不均等的各個指標統一映射在對稱的Werner對稱模型中。結合λ水平截集[14]，可以很好地避免將多目標問題轉化為單目標問題。

根據各個指標的重要程度，引入權重因子wk,k∈{R,Q,C,I}，則處理后重要程度相同的性能指標為wRZR(ρΘin),wQZQ(ρΘin),wCZ′C(ρΘin),wIZ′I(ρΘin)。

(26)

則λ水平截集迭代法的基本步驟如下：

1)任給λ(k)∈[0, 1]，收斂精度ε，通常為ε=10-3～10-6，初始化k=1。

(27)

支配方程約束條件

5)收斂檢查： 若|ε(k)|≤ε,收斂，轉到步驟(6)；若|ε(k)|>ε,不收斂，轉到步驟(7)。

7)執行λ(k+1)=λ(k)-α(k)ε(k),其中0<α(k)<1,應使λ(k+1)∈[0, 1]。

8)令k=k+1,轉到步驟(2)。

式(27)是一個確定性單目標最優控制問題，可用常用的約束優化方法進行求解。

2.3 混合螺旋優化算法求解

式(27)中的支配方程是關于時間和空間的復雜偏微分方程，難于用常用的優化方法進行求解，這里筆者采用全隱式有限差分法[15]，對系統的狀態和控制在空間和時間上進行離散。具體過程如下：

將整個空間離散成nx×ny×nz個網格，i(i=1, 2, …,nx)，j(j=1, 2, …,ny)，k(k=1, 2, …,nz)分別表示在x,y,z方向上的離散網格，xi,yj,zk表示在x,y,z方向上的第i,j,k個坐標值。采用塊中心網格系統[16]，即網格(xi,yj,zk)位于網格(i,j,k)的中心。定義xi-1/2,xi+1/2，yj-1/2,yj+1/2，zk-1/2,zk+1/2分別表示網格(xi,yj,zk)的左、右邊界。為了方便描述，這里采用W={ρΘ,p,Sw}表示系統的狀態，則系統的狀態可以離散為

(28)

式中：n=0, 1, …,N-1——三元復合驅的時間步長；N——驅油的總步數；Δtn——第n個時間步的大小；Wn+1——tn+1時刻的狀態向量；Δx, Δy, Δz——在x,y,z方向的空間步長。以x-y平面為例，定義的網格系統如圖1所示。

系統的支配方程可離散化為如下一般形式：

n=0, 1, …,N-1

(29)

螺旋優化算法是由Tamura和Yasuda于2011年提出的[17]，該算法是基于自然界中的螺旋現象而提出的一種全局優化算法，生活中常見的螺旋現象包括漩渦、海螺、風暴等。該算法的基本原理是： 種群個體圍繞選取的最優解(即中心點)執行旋轉變換操作，進而搜索全部解空間，逐步逼近最優解。螺旋優化算法能解決全局優化問題，具有較好的效果。但是當問題復雜度過大，變量空間覆蓋廣的情況下，該算法依然存在容易陷入局部極值、出現粒子積聚現象的問題。混合螺旋優化算法[6]通過引入柯西變異，使算法跳出局部最優值，又通過拉丁超立方采樣和動態調整變異概率[18]，改善了算法的局部尋優能力，具有非常好的尋優能力。

圖1 塊中心網絡示意

采用混合螺旋優化算法優化式(27)的步驟如下：

1)參數設置。設置種群大小(搜索點個數)PopSize≥2，決策變量維數n，旋轉角度0<θ<2π，收縮系數0

4)旋轉操作。按照多點搜索螺旋模型將各個個體進行旋轉操作：

ρΘin, i(k+1)=Sn(r,θ)ρΘin, i(k)-

(30)

5)變異操作。根據式(31)計算變異概率：

(31)

采用柯西變異對每個個體執行變異操作，式(33)為柯西變異的概率密度[19]：

ρΘin, i, j(k+1)=ρΘin, i, j(k+1)+ηC(0, 1)

(32)

(33)

式中：μ——定義分布峰值位置的位置參數；λ——最大值一半處的一半寬度的尺度參數；kmax——最大循環迭代次數；P0,Pt——k=0和k=kmax時的變異概率。

(34)

對于三元復合驅的約束條件，次用罰函數法構造增廣性能指標[20]，上述求解步驟不變。

3 模糊多目標規劃求解

3.1 油藏描述

圖2 井位分布示意

采用三元復合驅提高原油采收率的油藏為四注九采模型，4口注入井在中間等距分布，9口采出井均勻分布在注入井周圍，每4口采出井中心有1口注入井，油藏井位分布如圖2所示，其中井位號S表示生產井，井位號I表示注入井。該油藏模型按x,y,z三個方向進行網格劃分，油藏長為630 m，寬630 m，厚度為19.99 m，在x,y方向等距劃分為21等分，在z方向劃分為7層，其中油藏每層厚度均為2.857 m，油層凈厚度為1.428 6 m，油藏孔隙度均為0.3，油藏總孔隙體積為3.888 1×105m3。油藏9口生產井的采出流量見表1所列，油藏參數見表2所列。表2中具體變量定義可參見文獻[10]，4口注入井的注入量均為83 m3/d。從三元復合驅替劑注入時間為初始時間點，采樣時間點數L=97，油藏開發持續時間為96個月，空間節點數N=21×21×7。

表1 生產井產液量 m3/d

表2 油藏參數

3.2 仿真結果

油藏注入策略采用三段塞，即前3個段塞為驅替液驅替，第4段為水驅。為了簡化計算，設定4口注入井的注入策略相同，只優化注入濃度。油藏開發周期為96個月，共等分為6階段，即為6個時間步，每個階段為16個月，其中三元復合驅的注入時間共3個段48個月，每個階段執行相同的控制策略，其中三元復合驅的注入濃度范圍均為0≤ρΘin≤4 kg/m3。

模糊參數：Re=4 600萬元，Qe=130 kt，Ce=450元，Ie=4 400萬元，Rl=4 400萬元，Ql=120 kt，Cu=550元，Iu=4 600萬元。各個指標的權重為wR=0.25,wQ=0.25,wC=0.25,wI=0.25。

采用第2章所述方法求解該多目標模糊最優控制問題。假設月折現率參數α=1.5×10-3，原油價格為Po=1 800元/t，表面活性劑價格為Ps=28 000元/t，聚合物價格為Pp=25 000元/t，堿的價格為POH=5 600元/t，單位時間的生產成本為Pcos t=800元/d。

算法參數： 種群大小PopSize=20，旋轉參數r=0.95，θ=π/2。混合螺旋優化算法的變異概率P0=0,Pt=0.15(kmax=1 000)，收斂精度ε=10-4。

為了說明本文提出方法的效果，采用相同的段塞大小，設定4口注入井的注入策略相同，只優化注入濃度。采用指標對比法進行優化，將優化結果與本文所提方法的結果進行對比。采用指標對比法優化的注入策略為ρOHin=2.9 kg/m3，ρpin=2.1 kg/m3，ρsin=1.8 kg/m3。

優化結果如圖3～6所示。圖3中采用本文方法所得最優注入質量濃度為：ρOHin=(3.5, 2.6, 1.8) kg/m3，ρpin=(2.3, 1.2, 0.7) kg/m3，ρsin=(2.4, 1.5, 0.5) kg/m3。圖4表示優化前基于指標對比法的生產井含水率和產油量，圖5為經優化求解后的注入策略下的生產井含水率和采油量。圖6表示生產井平均含水率。

圖3 注入質量濃度對比示意

圖4 優化前生產井含水率和采油量示意

為了直觀表示優化前后驅油效果，取生產井的平均含水率如圖6所示。經對比分析可知，近似動態規劃求解獲得的控制策略在注入前期含水率下降明顯，這主要是因為在開發前期生產原油越多折算到現在的凈現值越多，所以在油藏開發前期驅替劑的注入量較大，故含水率下降較快。但是，經過一段時間的開采，含水率開始上升，三元復合驅驅油效果減弱，所以注入量開始減少，含水率上升。

圖5 優化后生產井含水率和采油量示意

圖6 生產井平均含水率對比

在指標對比法策略下，整個過程消耗聚合物1 003.968 t，表面活性劑860.544 t，堿1 386.432 t，產油量143 624 t，凈收益為3 867萬元。在本文提出方法優化之后的注入策略下，共消耗聚合物669.312 t，表面活性劑653.376 t，堿1 258.944 t，產油量為138 371 t，凈收益為4 725萬元。采用本文方法優化之后，凈收益增加了858萬元，取得了很好的經濟效益。

為評價算法對各個指標的權衡情況，定義違反度綜合評價指標δ

(35)

式中：N′——指標數；E——生產指標集合；μi——第i個指標的隸屬度；w——指標權重。

為了比較模糊多目標最優控制的優化效果，分別在各個目標單獨作用下，采用混合螺旋優化算法優化求解三元復合驅的模糊單目標最優控制問題，模糊多目標最優控制求解結果見表3所列，不同準則下優化的最優驅替劑最優注入質量濃度見表4所列。根據違反度評價指標可以發現，該指標越大，表明指標越符合要求，所得的最優注入濃度的滿意度越大。通過對比表3中的數據可以發現，在所有優化的注入策略中，本文提出的方法(最佳結合度)得到的違反度評價指標最大，為0.238。通過對比四項模糊指標的結果可以發現，本文方法優化的結果，能得到較高的總利潤和總產量，而且消耗的噸油成本和總投資較少，能在所有的模糊指標中，找到最優的結合度。因此，本文提出的模糊多目標最優控制求解算法能較好地權衡三元復合驅的各個性能指標，求出最佳結合度下的三元復合驅最優注采策略。

表3 模糊多目標最優控制求解結果

4 結束語

三元復合驅模糊多目標最優控制是帶有不等式約束的分布參數系統模糊最優控制問題，本文提出的基于混合螺旋優化算法的模糊多目標最優控制求解方法，能很好地權衡各個模糊指標，將多目標模糊最優控制轉化成為單目標確定性問題進行求解。

表4 不同準則下優化的驅替劑最優注入質量濃度 kg/m3

采用混合螺旋優化算法求解該問題，能避免利用極大值原理所導致的伴隨方程的求解，易于實施。針對具體的三元復合驅提高采收率問題，進行優化求解，得到三元復合驅的最優注采策略。最后通過仿真分析驗證了提出算法能在各個指標最佳結合度下得到最優注采策略。