隧道圍巖應(yīng)力和塑性域的雙剪強(qiáng)度理論的分析

常帥斌，劉小康，邵生俊，李軍琪,3，陳 明

(1.中鐵十二局集團(tuán)第四工程有限公司， 陜西 西安 710021;2.西安理工大學(xué) 巖土工程研究所， 陜西 西安 710048；3.陜西省黃土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710048)

在巖體中開(kāi)挖洞室時(shí)，由于巖體中存在著初始應(yīng)力，洞室圍巖的初始應(yīng)力狀態(tài)將會(huì)發(fā)生變化。圍巖的應(yīng)力重分布會(huì)造成圍巖內(nèi)各點(diǎn)的剪切作用增大，塑性加載作用引起圍巖塑性變形產(chǎn)生和發(fā)展；初始應(yīng)力場(chǎng)的平衡狀態(tài)被破壞，圍巖的壓縮應(yīng)力減小、剪切應(yīng)力增大，變形發(fā)展可能引起塌拱。開(kāi)挖洞室的圍巖需要增強(qiáng)支護(hù)，在洞內(nèi)臨空面上施加壓力，抑制圍巖塑性變形的發(fā)展，從而使塑性域的圍巖重新達(dá)到平衡狀態(tài)，維持圍巖的穩(wěn)定性[1]。

以往，在隧道開(kāi)挖圍巖壓力和塑性域的分析中，大多采用Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則[2-3]為屈服條件，依據(jù)大、小主應(yīng)力表述的Mohr-Coulomb屈服函數(shù)判斷圍巖單元體是否處于塑性變形狀態(tài)，將隧道橫斷面簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題，不考慮中主應(yīng)力的作用。然而，隧洞洞室開(kāi)挖屬于三維問(wèn)題，隧道圍巖及其掌子面巖體是否達(dá)到塑性流動(dòng)條件，不僅需要考慮大、小主應(yīng)力作用，而且需要考慮中主應(yīng)力的影響。當(dāng)隧洞開(kāi)挖完成后，圍巖的應(yīng)力應(yīng)變變化可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題[4-5]。

雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論以雙剪應(yīng)力單元體為統(tǒng)一的物理力學(xué)模型，建立了統(tǒng)一強(qiáng)度理論表達(dá)式[6]。該理論不僅能夠合理的考慮中主應(yīng)力對(duì)材料的影響，而且還能變換為Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則，Tresca強(qiáng)度準(zhǔn)則，在不同的工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。本文通過(guò)采用雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論推導(dǎo)的平面應(yīng)變準(zhǔn)則[7]，建立了平面應(yīng)變條件下隧洞圍巖應(yīng)力表達(dá)式及支護(hù)壓力與塑性域半徑的關(guān)系式。

1 統(tǒng)一強(qiáng)度理論的平面應(yīng)變準(zhǔn)則

統(tǒng)一強(qiáng)度理論由俞茂宏提出[8-9]，考慮任意兩個(gè)主應(yīng)力平面內(nèi)主剪應(yīng)力作用雙剪單元體上全部應(yīng)力分量，以及它們對(duì)材料單元破壞的不同影響而建立的一種新的強(qiáng)度理論。在巖土力學(xué)工程中，一般采用以壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負(fù)，則統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論的主應(yīng)力表達(dá)式為：

(1)

(2)

式中:σ1為大主應(yīng)力；σ2為中主應(yīng)力；σ3為小主應(yīng)力；b為反映中主剪應(yīng)力作用的系數(shù)，它與材料的剪切屈服極限τs和拉伸屈服極限σs之間的關(guān)系為：

(3)

式中：τs為剪切屈服極限和σs為拉伸屈服極限。

在(1)式中，若采用內(nèi)摩擦角φ0和黏聚力c0，則材料的拉壓強(qiáng)度比α為：

(4)

(5)

將式(4)、式(5)代入式(1)、式(2)中，可得內(nèi)摩擦角φ0和黏聚力c0表示的統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論，它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

(6)

(7)

平面應(yīng)變條件下，統(tǒng)一強(qiáng)度雙剪理論考慮了中主應(yīng)力的影響。大主應(yīng)力、中主應(yīng)力和小主應(yīng)力之間具有如下關(guān)系:

σ1≥σ2≥σ3

(8)

為了便于考慮中主應(yīng)力的影響[9]，引入中主應(yīng)力參數(shù)m，令:

(9)

在平面應(yīng)變條件下，m的變化范圍為0≤m≤1，對(duì)塑性不可壓縮材料，取m=1[10]。

將式(9)代入式(6)、式(7)中化簡(jiǎn)可得:

(2+bm+b)sinφ0]=(b+1)c0cosφ0

(10)

上式可寫成σ1和σ3的關(guān)系:

(11)

其中：

(12)

(13)

式中:φt、ct是統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論在一定中主應(yīng)力參數(shù)和中主剪應(yīng)力參數(shù)的內(nèi)摩擦角與黏聚力，由式(12)、式(13)可以看出，φt、ct與參數(shù)m、b相關(guān)，考慮了中主應(yīng)力對(duì)材料強(qiáng)度指標(biāo)的影響。

2 圍巖應(yīng)力與塑性域的關(guān)系

隧道開(kāi)挖過(guò)程中圍巖的應(yīng)力重分布。隧道內(nèi)壁臨空面未支撐時(shí)，圍巖應(yīng)力降低為零，使得巖體向洞內(nèi)產(chǎn)生塑性膨脹變形。這種塑性膨脹變形的結(jié)果使得未挖除的圍巖的壓縮應(yīng)力減小，剪切應(yīng)力增大，臨近內(nèi)壁臨空面的巖體處于剪切破壞的崩塌。當(dāng)圍巖初始各向均等壓縮應(yīng)力足夠大時(shí)，內(nèi)壁臨空面附近的巖體承受的應(yīng)力減小，使得臨近的巖體也發(fā)生塑性變形，這種塑性變形沿徑向深部圍巖發(fā)展，最終在圍巖中形成一個(gè)塑性變形松動(dòng)圈。在塑性圈內(nèi)，采用彈塑性理論的方法求解圍巖的應(yīng)力；在塑性圈以外，采用彈性理論的方法求解圍巖應(yīng)力。需要說(shuō)明的是在彈塑性交界面處，彈性解答應(yīng)該與塑性解答相等。

以埋深較大的圓形洞為例，隧道各向承受近似相等的壓縮應(yīng)力p0，隧洞半徑為r0，塑性圈的半徑為R，徑向應(yīng)力為σr，環(huán)向應(yīng)力為σt，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 圓形洞室彈塑性應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖

2.1 塑性域內(nèi)的圍巖應(yīng)力

根據(jù)徑向力的平衡條件可得:

(14)

由于dθ很小，所以sindθ≈dθ，代入上式，化簡(jiǎn)可得:

(σt-σr)dr=rdσr

(15)

在平面應(yīng)變條件下，σ1=σt，σ3=σr，所以式(11)可寫為：

(16)

聯(lián)立

(17)

由芬納公式可得:

(18)

式中:φt、ct是統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論的內(nèi)摩擦角與黏聚力，r是塑性域內(nèi)某點(diǎn)的半徑。

2.2 彈性區(qū)內(nèi)圍巖的應(yīng)力

根據(jù)彈性力學(xué)理論可知[11-13]，圍巖彈性變形區(qū)的應(yīng)力為:

(19)

其中σr為彈塑性變形區(qū)分界上的徑向應(yīng)力(相當(dāng)于彈性區(qū)對(duì)塑性區(qū)的作用力)；

p0為靜水應(yīng)力狀態(tài)下巖體的初始應(yīng)力，即:

p0=γH

(20)

根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界點(diǎn)處徑向應(yīng)力相等，聯(lián)立(18)和(19)式，可得塑性圈的半徑為:

(21)

或

(22)

式中:pi為襯砌上的圍巖壓力。

若R=r0，即一旦開(kāi)挖完成，就立即支護(hù)圍巖，認(rèn)為圍巖中沒(méi)有發(fā)展塑性區(qū)域，由式(22)可得襯砌作用于圍巖的壓力為:

pi=p0(1-sinφt)-ctsinφtctgφt

(23)

在地下工程開(kāi)挖后，總是要隔一段時(shí)間襯砌。換言之，就是在還沒(méi)有襯砌的情況下計(jì)算圍巖應(yīng)力，那么我們計(jì)算隧洞開(kāi)挖后圍巖應(yīng)力的大小時(shí)取pi=0。則式(21)可寫為：

(24)

3 圍巖應(yīng)力隨強(qiáng)度參數(shù)和中主應(yīng)力系數(shù)變化的分析

由式(18)可知，隧道圍巖應(yīng)力不僅與次主剪應(yīng)力系數(shù)b有關(guān)，而且還與中主應(yīng)力參數(shù)m有關(guān)，這與張常光等[14]的研究一致。故取不同的次剪應(yīng)力系數(shù)b和中主應(yīng)力參數(shù)m，可繪出統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論的內(nèi)摩擦角φt與黏聚力ct的變化，如圖2所示。

根據(jù)圖2可以看出：

(1)m值相同的條件下，φt、ct隨著b值的增大而增大。

(2)b值相同的條件下，φt、ct隨著m值的增大呈減小的變化趨勢(shì)。但是，隨著b值的減小，這種減小變化趨勢(shì)逐漸減弱。當(dāng)b=0時(shí)，φt、ct不再隨m值的變化而變化。當(dāng)b=0時(shí)，統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論的內(nèi)摩擦角φt與黏聚力ct轉(zhuǎn)化為Mohr-Coulomb強(qiáng)度理論的內(nèi)摩擦角φ0、黏聚力c0。

圖2 次剪應(yīng)力系數(shù)b和中主應(yīng)力參數(shù)m對(duì)φt、ct的影響

某巖質(zhì)隧洞橫斷面的平面內(nèi)，初始正交兩向的壓縮應(yīng)力p0為2.7 MPa，隧洞的半徑r0為3 m，圍巖軸對(duì)稱壓縮剪切破壞的內(nèi)摩擦角φ0為30°，黏聚力c0為1.5 MPa。采用統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論計(jì)算圍巖應(yīng)力，次主剪應(yīng)力參數(shù)b分別為0.00、0.25、0.50，中主應(yīng)力參數(shù)m分別為0.20、0.25、0.30。計(jì)算結(jié)果如圖3所示，不同m和b值下的塑性域半徑如表1。

表1 塑性域半徑

由圖3可以看出：

(1) 圍巖徑向應(yīng)力隨著半徑的增大而增大，而環(huán)向應(yīng)力在塑性域內(nèi)隨著半徑的增大而增大，在彈性域內(nèi)隨著半徑的增大成逐漸減小趨勢(shì)，最終徑向應(yīng)力的增大和環(huán)向應(yīng)力減小均趨向初始各向均等壓縮應(yīng)力。

(2) 在塑性域內(nèi)，環(huán)向應(yīng)力較徑向應(yīng)力的增大率大。初始地應(yīng)力越大，塑性域的主剪應(yīng)力越大，脆性硬巖巖爆破壞；軟巖的塑性變形發(fā)展較大。

(3) 當(dāng)環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力條件未滿足平面應(yīng)變統(tǒng)一強(qiáng)度理論屈服條件時(shí)，圍巖即處于彈性狀態(tài)。彈性域內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力總是小于塑性域內(nèi)的最大環(huán)向應(yīng)力，而彈性域內(nèi)的徑向應(yīng)力總是大于塑性域內(nèi)的徑向應(yīng)力。

(4) 塑性域內(nèi)，圍巖應(yīng)力隨著b值得增大而逐漸增大；而在彈性域內(nèi)，徑向應(yīng)力σr隨著b值得增大逐漸增大，環(huán)向應(yīng)力σt隨著b值得增大而減小。

(5) 當(dāng)b=0時(shí)，統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論即簡(jiǎn)化為Mohr-Coulomb強(qiáng)度理論。應(yīng)用平面應(yīng)變統(tǒng)一雙剪強(qiáng)度理論無(wú)支護(hù)條件下的塑性域分析途徑，與不考慮中主應(yīng)力的Fenner公式計(jì)算結(jié)果比較，考慮中主應(yīng)力可減小塑性域半徑。

若隧道開(kāi)挖后，立即支護(hù)強(qiáng)襯砌，襯砌結(jié)構(gòu)提供一定的反力，限制圍巖的變形。在無(wú)襯砌支護(hù)的條件下，隧洞開(kāi)挖后自由變形，直至塑性區(qū)達(dá)到穩(wěn)定，變形不再發(fā)展，可得塑性區(qū)的半徑。當(dāng)塑性域半徑發(fā)展較大時(shí)，易引起圍巖崩塌破壞。一般，隧道開(kāi)挖后發(fā)展一定的變形即做襯砌支護(hù)，圍巖變形受到襯砌的約束作用，塑性域的發(fā)展變小。當(dāng)襯砌支護(hù)提供不同的反力時(shí)，隧道圍巖的塑性域發(fā)展半徑不同，圍巖變形趨于穩(wěn)定。此時(shí)彈性域內(nèi)圍巖的應(yīng)力沒(méi)有達(dá)到強(qiáng)度破壞條件。不同襯砌支護(hù)壓力條件下，圍巖的塑性域及應(yīng)力條件變化如圖4所示。隨著支護(hù)壓力增大，圍巖的塑性域半徑明顯減小。

圖3 圍巖半徑與圍巖壓力的關(guān)系曲線

圖4 不同支護(hù)壓力下圍巖應(yīng)力和半徑的關(guān)系(m=0，b=0.5)

4 結(jié) 論

(1) 考慮平面應(yīng)變條件下中主應(yīng)力的變化范圍，通過(guò)引入中主應(yīng)力參數(shù)，將統(tǒng)一強(qiáng)度理論的三維強(qiáng)度準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為平面應(yīng)變準(zhǔn)則，得到了平面應(yīng)變的統(tǒng)一強(qiáng)度理論表達(dá)式。

(2) 應(yīng)用隧道圍巖的芬納公式，建立了平面應(yīng)變統(tǒng)一強(qiáng)度理論準(zhǔn)則為屈服條件的圍巖應(yīng)力表達(dá)式，以及圍巖支護(hù)壓力與塑性域半徑之間的關(guān)系式。

(3) 通過(guò)平面應(yīng)變統(tǒng)一強(qiáng)度的內(nèi)摩擦角和黏聚力與中主應(yīng)力參數(shù)和次主剪應(yīng)力系數(shù)之間的關(guān)系，分析了中主應(yīng)力和次主剪應(yīng)力系數(shù)變化對(duì)圍巖應(yīng)力分布的影響。

(4) 隧道開(kāi)挖工程中，圍巖壓力越大，襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力越大；支護(hù)壓力越大，塑性域半徑越小，塑性耗能越小。考慮平面應(yīng)變中主應(yīng)力的作用，統(tǒng)一強(qiáng)度理論分析確定圍巖的塑性域半徑減小。可見(jiàn)，應(yīng)用Mohr-Coulomb強(qiáng)度理論偏于安全。