中考數學幾何壓軸題解法方法

黃振興

【摘 要】 幾何壓軸題在數學中考中起到舉足輕重的作用，由于壓軸題的知識覆蓋面廣，圖形復雜，綜合性強，中考中區分層次和選拔人才等預設目標主要靠這類題型來完成。要突破壓軸題，光靠重復訓練或者題海戰術是無法實現的，壓軸題的綜合性和靈活性要求學生學會“怎么去做”，而不是簡單的“怎么做”。

【關鍵詞】 基本圖形;解題方向;數學語言;壓軸題

幾何壓軸題在數學中考中起到舉足輕重的作用，由于壓軸題的知識覆蓋面廣，圖形復雜，綜合性強，中考中區分層次和選拔人才等預設目標主要靠這類題型來完成。中考數學壓軸題的特點是解題方法多、能力要求高，在試題的設計上強調知識之間的綜合與靈活運用，更是在題目中滲透了重要數學思想方法的考查，如函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸思想等。

對于中考中的幾何壓軸題，無論是選擇題、還是填空題和解答題，不少學生一看到比較復雜的圖形就心生畏懼，再看到有動點更是頭皮發麻，不知道從哪里找到解題的突破口。因此，要突破壓軸題，光靠重復訓練或者題海戰術是無法實現的，壓軸題的綜合性和靈活性要求學生學會“怎么去做”，而不是簡單的“怎么做”。

那么，怎么教會學生“怎么去做”呢？通過與學生交流談話，我發現突破壓軸題最重要的就是方向問題，學生的能力是有的，但是在遇到壓軸題的時候找不到解決的方向，空有一身本領卻無處施展，這就是大部分學生面對壓軸題的現狀。如果能夠找到一個通用的解決此類問題的正確方向，那么學生就能夠觸類旁通，問題不就解決了嗎？于是我帶著這樣的思考和目的開展了研究。

通過對大量壓軸題以及解題過程的對比、提煉和研究，我發現幾何壓軸題中基本上隱藏著一個或者多個簡單的基本圖形或者特殊圖形，而只要我們提煉或者構造出這些基本圖形，解題就會勢如破竹。

什么是基本圖形？平面幾何中存在很多最基本的圖形，例如：直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、垂直平分線模型、角平分線模型……這些基本圖形中包含許多邊角相等的關系、線段比例關系、面積關系。

我們如何利用幾何基本圖形來突破中考幾何壓軸題？

首先是把幾何知識數學語言化，即定理、性質圖形化，在教學過程中，把基本的定義、定理以基本圖形的形式反映出來，建立基本圖形庫，引導學生用幾何語言表述相關的定義定理，促使學生看到某個幾何知識就能聯想到與之相關的幾何圖形，看到幾何圖形就想到相應的幾何知識，改變那種把性質定理的文字表述與圖形割裂開來的學習方法。比如：看到“角平分線”這一條件，馬上要想到往兩邊作垂線，構造出圖1;直角三角形或者平面直角坐標系中線段的關系，立馬要想到圖2中的相似直角三角形模型;看到中點，想到倍長中線構造全等，如圖3。

建立了知識與圖形的雙向聯系后，我就開始引導學生在壓軸題中尋找基本圖形，然后抽離基本圖形進行單個問題的解決，把壓軸題分解成一個個簡單的問題去解決，當基本圖形殘缺時，就要構造基本圖形，并歸納總結常用的輔助線作法。

例1：如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動，點Q在線段AB上從點A出發，向點B以個單位/秒的速度勻速運動。連接PQ，設運動時間為t秒。（1）求拋物線的解析式;（2）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標;（3）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由。

本題第一問比較簡單，直接代入A、B兩點的坐標計算即可，但是第二問和第三問是動點問題和分類討論問題，對學生來說存在一定的困難。這道題的解題思路方向在于等腰直角三角形AOB，因為等腰直角三角形的特殊性是只要知道一邊就能解出其他兩邊來，學生以此為突破點，就能表示出所有動態的邊長，從而構建方程，解出t的值。

以這道試題為例，我們引導學生在做幾何壓軸題的時候著重去尋找和構建圖形中的特殊圖形、基本圖形，以特殊圖形所涵蓋的知識點為思考方向，結合題目問題去構建解題所需要的數學模型。有了方向，學生就不會像無頭蒼蠅一般亂飛，有了方向，學生的本事就得以施展，隨著“尋找特殊圖形為突破點”這一思考方向的接受形成思維慣性，教學效果和學生學習積極性都有顯著提升。

我們總是說“授人以魚不如授人以漁”，那么什么是“漁”呢？“漁”是方法、技巧，更是經驗。傳授經驗首先要進行提煉與總結。學生的潛力是無窮的，他們的能力更不容小視，他們缺乏的僅僅是一個解決問題的方向，我們老師最應該做的就是在總結提煉中找到方向，并把這個方向傳授給學生！

在復雜的幾何圖形中尋找基本圖形和特殊圖形，讓學生學會解決幾何壓軸題的方向而不是某道題的答案，這樣的教學就做到了學習方法的指導，帶來的必將是學生學習能力的提高！