探討兩個基本計數原理易錯題辨析

摘 要：本文通過兩個計數原理的應用習題，從分清對象，理清思路、分清步驟，明確方法、正確分析，明確考查知識點、認清原理，掌握關鍵、不重不漏，正確解題幾個方面進行辨析和探討，教師要強調計數原理應該注意問題。

關鍵詞：兩個基本計數原理;易錯題;辨析

學生正確理解兩個計數原理，并在理解的基礎上靈活運用兩個原理，它是學生學好高中數學章節中的排列、組合內容的基礎和保證，其應用貫穿于排列、組合本章始終，應引起同學們的重視。學好分類加法和分步乘法兩個計數原理是學生推導和運用排列數、組合數公式的基礎，也是教師為學生講解解決排列、組合問習題的關鍵。

一、 數學教師講解過程中注意正確運用兩個計數原理

1. 讓學生搞清楚完成某件事的是怎樣的一件具體的事情，讓學生搞清楚大家所要解決的題目涉及這件事的具體含義，正確理解運用分類和分步兩個計數原理解題基本基礎，因此教師們在講解習題時要認真地審題，同時分析清楚這件事情的前因后果，學生分析具體問題才能做到對分析問題的不重復也不遺漏。

2. 講解時分清完成“這件事”是“分類”還是“分步”兩種情況中的具體哪一種，教師在講解排列組合的習題時候，在使用分類加法計數原理時，讓學生理解必須要各類的每一種方法或措施都能保證整件事情的完成，幾者之間要具有自己的獨立性;在應用分步加法計數原理時，教師要指出完成這件事有幾個步驟執行，在具體步驟中處理上是否又相互依存，只有當每個事情都完成情況下才能算作完成這件事情，講解習題時確保整件事情的問題不遺漏，獨立性確保整件事情的問題不重復。

二、 在具體解答過程中遵循以下幾個步驟

（一）分清對象，理清思路

【例1】 我們從遷西去唐山可以有2種方法去，其中第一種乘班車有4個不同時間點去唐山，第二種方法乘出租車有6個時間點去唐山，從中任選出1種方法去唐山，不同選法的種數是??? 。

錯解：2種

錯因分析：由于每種方法去唐山都是不同的個體，所以該題中不同的選法中實際是選坐車方式，不是選方法來計算這個問題。

正解：10種

（二）分清步驟，明確方法

【例2】 若有5封不同的信，分別投入3個不同的郵箱，則不同的投入方法種數有??? 種不同情況。（沒有并列冠軍）

錯解：35

錯因分析：事件是“三個不同的郵箱”，分為三個步驟，每個步驟確定每個郵箱的信可以投入共有5種方法，因此投入郵箱信的種數可能有的為53。

正解：53

（三）正確分析，明確考查知識點

【例3】 54000的正約數個數是多少？其中有多少個是奇約數？

錯解：不理解題意的學生大多無從下手或胡亂編寫答案。

錯因分析：54000分解成質數積的形式54000=24×33×53，它的正約數為2a×3b×5c，a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，c∈{0，1，2，3}，且a，b，c的取值個數分別為5、4、4，所以54000的正約數有5×4×4=80個。其中奇約數為3b×5c、又因為b，c的取值個數分別為4、4，所以其中奇約數有4×4=16個。

正解：正約數為80個，其中奇約數為16個。

（四）認清原理，掌握關鍵

【例4】 地道戰是抗日戰爭時期八路軍主要的戰術之一。當時，某地區有這樣一組地道網絡。如圖，從“李莊”到“鬼子的據點”共有4條地道，由于地形和環境不一，每條通道單位時間內可通過的人數不一致，具體如圖所示，其中圓圈表示集結地點或轉彎地，現八路軍要從“張莊”偷襲“據點”，則單位時間內最多可有多少名八路軍戰士通過地道到達“據點”（? ）

A. 71B. 30C. 19D. 17

錯解：A. 8+3+2+6+6+5+7+10+10+14=71;B. 8+3+2+6=19;C. 14+10+6=30

錯因分析：解題關鍵點是確定完成這個問題，到底是加法分類還是乘法分步解決這個問題。從“李莊”到“鬼子據點”在同一個單位時間內有四條地道同時通過，每一條地道都可能從“張莊”到達“據點”，應采用分類計數原理。

沿最上面的地道單位時間通過的八路軍戰士的最大人數是6;

沿上面第二條地道單位時間通過的八路軍戰士的最大人數是3;

沿上面第三條地道單位時間通過的八路軍戰士的最大人數是2;

沿最下面的地道單位時間通過的八路軍戰士的最大人數是6。

正解：由加法原理，單位時間內通過地道到達“據點”的最大人數是6+3+2+6=17，應選D。

（五）不重不漏，正確解題

【例5】 用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的比1000大的奇數共有??? 個。（? ）

A. 48B. 64C. 72D. 144

錯解：第一步，從3個數選1個數放在個位上3種取法;

第二步，從剩下4個數選1個數放在十位上4種取法;

第三步，從剩下3個數選1個數放在百位上3種取法;

第四步，從剩下2個數選1個數放在千位上2種取法;

只有各步都完成，整個事情才完成，采用乘法原理共有=3×4×3×2=72個。

正解：任何一個5位的奇數都符合要求，共有72個;

整個事情由兩種情況組成，分4位數和5位數兩部分組成，每類之間分四步，由加法原理得兩者之和共有72+72=144個，應選D。

教師在講解的過程中，還要告訴學生，有些同學往往忽略對題設條件出現錯誤，教師在分析和解決問題時一定要告訴學生注意所列的題目中的每一個已知條件，不然的話學生很容易會產生多解或者有時產生漏解。此外還有理解題意出現偏差，解題方法選擇不當導致解題出現錯誤，留心出錯的地方，特別注意的地方特別強調，好多優秀的學生也容易出錯，對于基礎差的學生，多做習題加以引導，強化知識。

教師們在講解計數原理時，教師要讓每一個學生能夠辨別使用加法計數原理和乘法計數原理中的具體使用哪一個原理，還是兩個原理綜合運用，學生們關鍵是辨別題目中是分類還是分步中的哪種情況。教師就對分類加法的每一件事都是獨立的整體，能夠完成整件事情，要讓學生明白使用的技巧;在講解分步乘法中所有的步驟都完成時，整個事情才能算完成。教師要分門別類地講解，要讓學生明白兩個原理應用的范圍，我相信經過對處理兩個計數原理方法的引導多數學生會更進步，更優秀。對于學排列、組合知識會更輕松，更容易。

參考文獻：

[1]李平.基于初中數學導學案課堂實施“學生講解”的實踐研究[D].成都：四川師范大學，2014.

作者簡介：

李國禮，河北省唐山市，遷西縣職業技術教育中心。