GBn鏈的主同余性質(zhì)

孫中舉,方捷

(廣東技術(shù)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510665)

GBn鏈的主同余性質(zhì)

孫中舉,方捷

(廣東技術(shù)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510665)

Ockham代數(shù)是一個(gè)代數(shù)(L;∧,∨,f,0,1),其中(L;∧,∨,0,1)是有界分配格,f是L上的偶格自同態(tài).GBn代數(shù)是指一個(gè)Ockham代數(shù)(L;f),它滿足條件:(fn(L);f)是布爾代數(shù).它包含常見(jiàn)的布爾代數(shù)、de M ogan代數(shù)和Stone代數(shù).本文研究了GBn鏈的代數(shù)結(jié)構(gòu),并給出一個(gè)GBn鏈具有主同余性質(zhì)的充分與必要條件.

GBn代數(shù);主同余;鏈

1 引言及預(yù)備知識(shí)

如果一個(gè)代數(shù)上的所有同余關(guān)系都是主同余[1],那么稱這個(gè)代數(shù)具有主同余性質(zhì).例如,有限的布爾代數(shù)就具有主同余性質(zhì).1990年,文獻(xiàn) [1]刻畫(huà)了具有主同余性質(zhì)的分配格:de Morgan代數(shù)和Stone代數(shù).1992年,文獻(xiàn)[2]刻畫(huà)了具有主同余性質(zhì)的偽補(bǔ)代數(shù)和雙重偽補(bǔ)代數(shù).2009年,文獻(xiàn)[3]刻畫(huà)了具有主同余性質(zhì)的一類群.雖然布爾代數(shù)、de M organ代數(shù)和Stone代數(shù)的主同余性質(zhì)已經(jīng)被完全地研究清楚,但布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)和Stone代數(shù)只是Ockham代數(shù)類中一小部分最特殊的代數(shù)子類.如何刻畫(huà)整個(gè)Ockham代數(shù)類的主同余性質(zhì),這是一項(xiàng)艱難而持久的研究工作.目前,Ockham代數(shù)的主同余性質(zhì)的研究成果就停留在布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)和Stone代數(shù).為了在此領(lǐng)域有所突破,本文嘗試研究GBn鏈的主同余性質(zhì).GBn代數(shù)是Ockham代數(shù)的一個(gè)較大子類,它包含布爾代數(shù)、de M organ代數(shù)和Stone代數(shù).通過(guò)研究,給出了具有主同余性質(zhì)的GBn鏈的充分必要條件.

回顧文獻(xiàn)[4],一個(gè)Ockham代數(shù),是指具有〈2,2,1,0,0〉類型的代數(shù)(L;∧,∨,f,0,1).其中(L;∧,∨,0,1)是有界分配格,運(yùn)算x→f(x)是L的偶自同態(tài).Ockham代數(shù)包含著名的布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)、Stone代數(shù)和K leene代數(shù)等,其與理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究聯(lián)系緊密,特別是在自動(dòng)機(jī)和多值邏輯領(lǐng)域已經(jīng)有較多研究.文獻(xiàn)[5]介紹了一類廣義的布爾代數(shù),稱之為GBn代數(shù).它是Ockham代數(shù)的一個(gè)較大的代數(shù)子類,包含常見(jiàn)的布爾代數(shù)、Stone代數(shù)和對(duì)偶Stone代數(shù).所謂GBn代數(shù),是指一個(gè)Ockham代數(shù)(L;f),它滿足條件:(fn(L);f)是一個(gè)布爾代數(shù),其中n≥0,而且fn(L)={fn(x)|x∈L}.顯然,GB0=B,B是布爾代數(shù),且

有關(guān)Ockham代數(shù)與GBn代數(shù)的基本性質(zhì),請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5].

設(shè)A是一個(gè)代數(shù),H?A,用θ(H)表示A的包含H×H的最小的同余關(guān)系.當(dāng)H={a,b}時(shí),稱θ(a,b)是A的一個(gè)主同余.特別地,對(duì)于格L,通常用θlat(a,b)表示L的格主同余.為了文中需要,給出分配格的主同余的一些基本性質(zhì)如下:

引理 1.1[6]設(shè)L是一個(gè)分配格,a,b,x,y∈L,且a≤b.則

(1)x≡y(θlat(a,b))當(dāng)且僅當(dāng)x∧a=y∧a,x∨b=y∨b;

(2)θlat(a,b)∧θlat(c,d)=θlat((a∨c)∧b∧d,b∧d).

設(shè)(L;f)是一個(gè)Ockham代數(shù),若θ是L上的格同余關(guān)系,且(a,b)∈θ蘊(yùn)含(f(a),f(b))∈θ,那么θ是一個(gè)Ockham同余關(guān)系(簡(jiǎn)稱同余關(guān)系).將用符號(hào)ω和ι分別表示相等關(guān)系和泛關(guān)系.在一個(gè)Ockham代數(shù)(L;f)中,下面所定義的L的等價(jià)關(guān)系

是L的基本同余[4].顯然,有

關(guān)于Ockham代數(shù)的主同余關(guān)系,已于1977年由Berman所刻畫(huà)[4,6].相關(guān)知識(shí)也可以參考文獻(xiàn)[7-10].為讀者方便起見(jiàn),給出如下.

引理1.2[4]設(shè)(L;f)是一個(gè)Ockham代數(shù).若a,b∈L且a≤b,則

2 GBn鏈的主同余性質(zhì)

圖1 具有主同余性質(zhì)的GBn鏈

所以定理2.4成立.

[1]B lyth T S,Varlet JC.Principal congruences on som e lattice-ordered algebras[J].DiscreteM ath.,1990,81:323-329.

[2]Beazer R.Som e p-algebras and double p-algebras having only p rincipal congruences[J].G lasgow M ath.J., 1992,34:157-164.

[3]Ikikardes S,Sahin R,Cangul IN.Principal congruence subgroups of the Hecke groups and related resu lts[J]. Bull.Brazilian Math.Soc.,2009,40(4):479-494.

[4]B lyth T S,Varlet J C.Ockham A lgebras[M].Ox ford:Ox ford University Press,1994.

[5]Fang J,Sun Z J.A subclass of Ockham algebras[J].Acta M athem atica Sinica,2012,28(10):2115-2128.

[6]G r¨atzer G.Lattice Theory[M].New York:W.H.Freem an and Com pany,1971.

[7]Berm an J.Distributive latticeswith an additional unary operation[J].Aequationes M ath.,1977,16:165-171.

[8]方捷,沈嚇妹.具有Heyting結(jié)構(gòu)的Ockham代數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(1):138-145.

[9]Fang J.Distributive Lattices with Unary Operations[M].Beijing:Science Press,2011.

[10]Sankappanavar H P.A Course in Universal A lgebra[M].New York:Sp ringer-Verlag Inc.,1981.

Principal congruences on GBnchains

Sun Zhongju,Fang Jie

(School of Com puter Science,Guangdong Polytechnic Normal University,Guangzhou 510665,China)

An Ockham algebra is an algebra(L;∧,∨,f,0,1)in which(L;∧,∨,0,1)is a bounded distributive lattice and f is a dual lattice endom orphism on L.A GBn-algebra is an Ockham algebra(L;f)with the p roperty that(fn(L);f)is a Boolean algebra,including the Boolean algebra,de M organ algebra and Stone algebra.In this paper we shall investigate the algebraic structure of GBn-chains,and give the suffi cient and necessary condition for those GBn-chains that have the principal congruence p roperty.

GBnalgebras,principal congruences,chain

O153

A

1008-5513(2012)06-0779-13

2012-05-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11261021).

孫中舉(1982-),博士,講師,研究方向：格論與有序代數(shù).

2010 M SC:06D15