立體幾何平面化的研究

羅海遠

1.引言：

數學上，立體幾何就是我們所熟知的三維歐氏空間的傳統名稱，也就是我們所生活的空間。雖然有的平面幾何定理在空間問題上不一定成立，但對于空間的每一個平面，平面幾何的結論都是成立的。因此，在解決立體幾何問題時可以選取或構造一個恰當的平面，使得問題在所選取或構造的平面上獲得突破性進展，為解決問題帶來方便。

2.立體幾何平面化思想的幾類問題

2.1空間圖形畫法的平面化

在我們的生活中，總會遇到多種多樣的事物，每個事物都有它們自己特有的形狀，那么，我們該如何描述事物，并準確地將之畫出來呢？這就涉及到將立體的圖形畫在一個平面上的問題。

斜二測畫法是空間圖形最主要的畫法，此畫法將空間圖形轉化為它的直觀圖，也就是將空間圖形轉化為平面圖形，為學生對空間圖形的理解帶來方便，為解題帶來便捷[1]。例如：下面兩個六面體，圖2.1.1中，陰影面是我們所看不到的背面，而圖2.1.2中，陰影面是我們所看得到的正面，正因為虛線不同，看上去圖形就大不一樣了。

空間圖形畫法的平面化，可以幫助我們將空間圖形平面化，還可以幫助我們對空間圖形的認識進一步加深，從而更好地解決有關于立體幾何的問題。

2.2空間角的平面化

空間角主要是指異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角這三類角[2]。在一個問題中，如果條件或結論中有涉及空間角的概念，首先要以概念為指導，作出有關的空間角，然后逐步轉化為平面角去解決。對這種方法的掌握尤為重要，若能掌握并運用之，在一定程度上可以反映研究空間問題的水平以及質量。

2.2.1異面直線所成的角

異面直線所成的角的定義[3]：如圖2.2.1，已知兩條異面直線，，經過空間任一點作直線//，//，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）。

異面直線所成的角的范圍：.

從上述定義可知，兩條相交直線可以確定一個平面，所以異面直線所成的角是用平面內兩相交直線所成角來定義的，即用平面角來定義的。所以在求異面直線所成角時，應該先將要求的兩條直線平移到同一個平面上，之后在求解。

2.2.2直線與平面所成的角

直線與平面所成的角的定義[3，4]：

如圖2.2.2，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

直線與平面所成的角的范圍：.

從上述定義可知：在碰到求斜線與平面所成角的問題時，應該先將要求的斜線在平面上的射影畫出來，之后通過上述方法求解，便能順利解決此類問題。

2.2.3二面角

二面角的定義[3]：如圖2.2.3，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。棱為、面分別為，的二面角記作二面角。

二面角的平面角[3]：如圖2.2.3，在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則射線和構成的叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的范圍：.

從上述定義可知：我們就用二面角的平面角的大小來表示二面角的大小，即二面角的描述是通過其平面角來描述的。二面角的求解比較復雜，知道了二面角的定義之后，在計算角度的時候也應該注意仔細求解。

2.3空間距離的平面化

空間距離包括點到直線、點到平面的距離，直線與直線、直線與平面的距離以及平面與平面的距離。上述六種不同的距離，實則都可以化為平面上兩點的距離。一般而言，立體幾何中的所有的距離問題，都可以遵照它們的定義，轉化為兩點之間的距離問題，這就為空間距離的平面化打下了理論依據。

3.立體幾何平面化的幾種方法

3.1平移法

平移的定義：平移是指在同一平面內，將某個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移。

直線或平面在空間平行移動，不改變它們與其他線面所成角的大小。因此，常用平移法將分散在不同平面的有關量，納入同一平面內進行求解，為解題帶來了方便。

3.2射影法

作平面的一條斜線，該斜線與該平面所成的角，就是該斜線與它在這一平面內的射影所成的角。判定該斜線與平面內某一直線垂直的問題，就相當于去判定該斜線在該平面內的射影與該平面內的一條直線垂直的問題，這就將一個本該在立體幾何中解決的問題引到一個平面上來解決。

3.3旋轉法

旋轉的定義：在平面內，把一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。其中，點叫做旋轉中心，旋轉的角叫做旋轉角，如果圖形上的點經過旋轉變為點，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。

旋轉的性質：一、對應點到旋轉中心的距離相等;二、對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;三、旋轉前、后的圖形全等。

一直線繞某定直線旋轉時，旋轉前后該直線與定直線所成角不變，且該直線上任一點到定直線的距離不變。因此，為了實現將空間問題平面化，旋轉是有效方法之一。

4.本研究的結論

此次研究課題主要的目的是為了簡化立體幾何問題，主要簡化的方法是將立體幾何平面化，也就是將空間的問題引到平面上來解決，這樣更有利于理解。為了將立體幾何平面化，本課題主要從有關于立體幾何平面化的幾類問題和立體幾何平面化的幾種常用方法來著手研究。本課題對例題的分析與解答上做得較詳盡，但本課題所討論的立體幾何平面化的方法種類較少，在將來，有望改進。

參考文獻

[1] ?魏秋梅.空間問題平面化思想教學淺析[J].新課程（中旬），2013，（7）：26-29.

[2] ?曹曉華.立體圖形平面化探究[J].陜西教育，2011，（7）：38.

[3] ?劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書（必修）數學2[M].河南：人民教育出版社，2012：40-75.