向量積分配律的幾種證明*

毋曉迪鄧艷平王宏興

(廣西民族大學 數學與物理學院,廣西 南寧 530006)

0 引言

數學學科中,有很多公式和定律看似顯而易見,但證明起來往往并不簡單,就向量積的分配律而言,其表述為:

上述運算律表達式的證明方法和向量代數中的其他運算律的證明方法不同,并非直接根據定義來驗證.根據向量具有幾何與代數形式的“雙重性”這一特征,本文選取向量積分配律中的第一個表達式給出四種證明方法.

1 證明向量積分配律

1.1 證法一(代數視角1)

引 理1如 果 向 量,那么

由此引理可用來證明向量積分配律,具體證明步驟如下:

而等式左邊=等式右邊,即向量積的分配律得證.

1.2 證法二(代數視角2)

引理2 向量積的反交換性,即

引理3 數量積(即內積、點積)的分配律,即

證明:

引理4 三向量混合積滿足以下性質:定義為向量的混合積,常記為),則表示以為三條鄰棱的平行六面體的體積,其正負號由的定向決定(右手系為正,左手系為負).

依據引理4,容易得到:

引理5 輪換混合積的三個因子,其值不改變,即

引理6 三向量混合積滿足

下面我們就用上面的一系列引理來證明向量積的分配律,

設為空間任意向量,構造出

1.3 證法三(幾何視角1)

如圖2,設平面ACC1A1,ABB1A1,BCC1B1的單位法向量分別為,則

圖2 三個不共面向量構成平行六面體示意圖Fig.2 Schematic diagram of parallelepihedron formed by three non coplanar vectors

向量積分配律的證明可以轉化為證明

由圖3可知,平面ACC1A1、平面ABB1A1與平面ADD1A1恰好圍成一個三棱柱,將該三棱柱向與三條平行棱AA1,BB1,CC1垂直的平面做投影,得到的投影三角形的三邊分別是原平行四邊形ACC1A1,ABB1A1,CBB1C1沿水平方向所在線段的高,分別記為A0C0,A0B0,B0C0.只需證明與A0C0,A0B0,B0C0這三邊等長且垂直的向量滿足向量和,就能得到以面積的值為長度的垂直向量滿足向量和.

圖3 三棱柱投影示意圖Fig.3 Schematic diagram of prism projection

如圖4,將C0B0繞B0點逆時針旋轉90°得到B0C′;A0B0繞B0點順時針旋轉90°得到線段B0A′,將平移至,連接B0E、C′E,由∠A′B0C′=∠C′EA′, 而 ∠A′B0C′ =180° -∠C0B0A0,∠B0A′E +∠C′EA′ =180°, 即 △A0B0C0△B0A′E,得出:A0C0=B0E,由三角形平面旋轉90°得A0C0⊥B0E.

圖4 向量旋轉示意圖Fig.4 Schematic diagram of vector rotation

而

1.4 證法四(幾何視角2)

在上取一單位向量,記與夾角為θ,如圖5,將向量向平面α投影,投影向量記為,將向量順時針旋轉90°,得向量,由向量積定義可知:

圖5 向量向平面投影示意圖Fig.5 Schematic diagram of vector plane projection

圖6 向量積分配律構造平行四邊形示意圖(1)Fig.6 schematic diagram of parallelogram constructed by vector integral collocation(1)

再次利用向量的平行四邊形法則得:

圖7 向量積分配律構造平行四邊形示意圖(2)Fig.7 Schematic diagram of parallelogram constructed by vector integral collocation(2)

2 結語

通過翻閱大量的常規教材和教輔資料,發現對于向量積的分配律只是給出了一個簡單的公式,對其為何恒成立并沒有過多深入的探析.本文的四種證明方法,各有千秋,從代數角度考慮,一是從向量積的基本概念出發,嚴格推導,證明了分配律表達式,此外,從向量的代數特征入手,結合行列式運算推導出分配律表達式.從幾何角度出發,一是通過向量叉積的幾何意義構造出分配律表達式,充分詮釋了轉化與化歸的數學思想;另外,通過旋轉投影的方法順其自然地得出分配律表達式,進而增加了新的證明視角,真正使得向量成為代數與幾何之間的一座天然的橋梁.