帶磁場項的非線性Schr?dinger 方程解的有限時間爆破

帥 鯤， 潘志剛， 蒲志林， 熊 胤

（1.電子科技大學(xué) 成都學(xué)院，四川 成都611731； 2.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都610031；3.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066； 4.四川師范大學(xué) 法學(xué)院，四川 成都610066）

本文考慮如下帶磁場項的非線性Schr?dinger方程：

其初值滿足：

其中，E（t，x）為R+×R3到C3的矢量函數(shù)，常數(shù)δ≤0，h ＞0.方程（1）～（3）也稱為帶奇異積分算子的非線性Schr?dinger方程.

若不考慮磁場項的影響，方程（1）～（3）簡化為

其中E ＝（E1，E2，E3）.該方程為量子力學(xué)中的經(jīng)典模型.目前，關(guān)于不帶磁場項的Schr?dinger 方程的解爆破性質(zhì)的研究已經(jīng)比較成熟［1-2］.然而，對帶磁場項的Schr?dinger 方程（1）～（3），盡管物理學(xué)上已經(jīng)表明了解在有限時間爆破［3-4］，據(jù)我們所知還沒有方程（1）～（3）奇異解存在的結(jié)果.

基于文獻(xiàn)［5 -8］的方法，克服非線性奇異積分算子的困難，得到了方程（1）～（4）柯西問題在有限時間爆破的初值條件.

1 預(yù)備知識

令wi＞0，Ei（t，x）＝eiwitui（x），i ＝1，2，3，（u1（x），u2（x），u3（x））為以下靜態(tài)問題的解：

其中（u1，u2，u3）∈H1（R3）×H1（R3）×H1（R3），（u1，u2，u3）≠（0，0，0）.定義以下泛函：

由Sobolev 嵌入定理和傅里葉變換，知S（u1，u2，u3）和R（u1，u2，u3）都是適定的.

此外，定義集合M為

強(qiáng)制變分問題為

參見文獻(xiàn)［9］，知道存在（Q，P，V）∈H1（R3）×H1（R3）×H1（R3）＼｛（0，0，0）｝滿足

而以下結(jié)論成立.

引理1.1 由（11）式，則R（Q，P，V）＝0 且

此外，得到以下引理.

引理1.2 令（E1，E2，E3）為柯西問題（1）～（4）的光滑解，則總質(zhì)量和能量守恒

通過積分運算，則有

得到

把（15）～（18）式代入（14）式，得到

同理可得

積分運算可得：

通過對（25）式積分運算，得到

把（22）～（27）式代入（21）式，得到

因此（13）式成立.

2 主要結(jié)果

令

命題2.1 令（E10，E20，E30）∈Σ 且（E1，E2，E3）∈C（［0，T］；Σ）為柯西問題（1）～（4）在［0，T）上的解.記

則

其中

證明 因為（E1，E2，E3）∈C（［0，T］；Σ）是柯西問題（1）～（4）式在［0，T）上的解.由（E10，E20，E30）∈Σ 和文獻(xiàn)［14］，有（E1，E2，E3）∈Σ.由（1）～（3）和（29）式可得

又因為

根據(jù)（32）式可得

在（33）式中關(guān)于t求導(dǎo)，運用（1）～（3）式得到+

由（34）式積分可得：

同理，（37）式通過積分運算得到

此外有

把（35）～（44）式代入（34）式可得

至此，命題2.1 的證明完畢.

參見文獻(xiàn)［15］有如下引理.

引理2.1 令f是標(biāo)量函數(shù)，如果｜x ｜f和▽f在L2（RN）中，則f在L2（RN）中并且滿足

定理2.1 設(shè)（E1，E2，E3）為方程（1）～（4）的一類徑向?qū)ΨQ解且（E10，E20，E30）∈S，若

（i）H（E10，E20，E30）≤0；

證明 令

由（ii）可得F（0）＞0.此外，由命題2.1 有

由于h ＞0 且δ≤0，（i）蘊含了

由F（0）＞0 和（47）式，可得F（t）＞0，由（E1，E2，E3）存在性和（30）式有

因此，

運用Schwarz不等式可得

其中C*≥3C0.因此，由（47）和（50）式蘊含了

成立，從而

致謝 天津大學(xué)數(shù)學(xué)系的甘在會教授在論文寫作過程中給予的指導(dǎo)與寶貴建議，謹(jǐn)致謝意.