多項式X2m-1 在環Z(2m-1)k 上的因式分解

楊建生， 孫亞南

(上海大學 理學院, 上海 200444)

迄今為止，準循環碼已經發展50 多年[1-3]。1993 年，Conan等[4]在研究有限域上的準循環碼時，通過多項式在有限域的分解形式給出了準循環碼在有限域上的結構和性質。2001 年，Ling等[5]通過多項式在有限域上的分解形式，結合中國剩余定理研究了有限域上準循環碼的代數結構，得到了準循環碼的直和分解形式，并且根據離散傅里葉變換構造了準循環碼的跡表達式，從而得到了一類(u+v｜u-v)結構的準循環碼。2003 年，Ling等[6]又通過研究多項式在鏈環上的因式分解，得到了鏈環上的準循環碼的直和分解，進而得到了一類(a+x｜b+x｜c+x)結構的準循環碼。

多項式的因式分解在研究環上準循環碼的結構形式中起著重要的作用。本工作主要研究了多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解，并給出X2m-1 不可約因式系數之間的約束關系，以及m=4，6 時X2m-1-1 的不可約因式分解。

1 預備知識

假設m，k為正整數，2m-1 為素數；對于正整數n，設Zn={0,1,··· ,n-1}表示模n的剩余類環。

如果A是一個交換環，只存在一個極大理想M，則稱A為局部環，此時商環A/M為域。

當2m-1 是素數時，剩余類環Z(2m-1)k是局部環，其中極大理想由元素2m-1 生成，商環Z(2m-1)k/(2m-1)為含有2m-1 個元素的有限域。

對于整數上一元多項式環Z[X]而言，如果p(X)∈Z[X]，且p(X)在Z[X]中只有因式c ∈Z和cp(X)，則p(X)為環Z上的不可約多項式[7]。

設q是素數，Fqn為含有qn個元素的域，則Fq是Fqn的子域，Fq同構于剩余類環Zq。對于a ∈Fqn，Fq上以a為根，首項系數為1，并且次數最低的非零多項式稱為a在Fq上的極小多項式，它是Fq上不可約多項式。

若a ∈Fqn，為Fqn的一個本原元，即Fqn非零元形成的乘法循環群的生成元，那么a在Fq上的極小多項式稱為a在Fq上的本原多項式。

定理1[8]設s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數，則ξs在Z(2m-1)上的極小多項式為

引理1[9]設R是含有單位元的交換環。對于γ ∈R，設Dn(x,γ)是R中的n次Dickson多項式，

式中：D0(x,γ)=2。

設x1，x2∈R，則

2 Z(2m-1)k 上多項式X2m-1 的因式分解

由于k的取值不同時X2m-1 的分解性質不同，因此，當k=1 和k ＞1 時，分別采用不同的方法討論多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解。

2.1 k=1

設ξ是F(2m-1)2上的2m次本原單位根，即ξ ∈F(2m-1)2，且ξ2m= 1，ξt /= 1,1 ≤t≤2m-1。若s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數，則s模2m的分圓陪集Us={s(2m-1)i(mod 2m)｜i ∈Z}。

性質1 設s是滿足0 ≤s ＜2m-1 的正整數，則

并且

其中Q1,Q2,··· ,Qm-1是Z(2m-1)中兩兩不同的元素。

證明 由于2m-1≡-1(mod 2m)，有

通過定理1，可知

且Mξs(X)∈Z(2m-1)[X]。

設Qs=ξs+ξ-s，則Qs ∈Z(2m-1)，且Mξs(X)=X2-QsX+1。

因為Ui /=Uj(i/=j)，可得Mξi(X)/=Mξj(X)，所以有Qi /=Qj(i/=j)。

為了得到多項式X2m-1 在Z(2m-1)上的因式分解，需要討論Qi(i=1,2,··· ,m-1)的取值計算方法。

假設Q0=2，Qm=-2。由引理1 可知，Qi=Di(Q1,1)∈Z(2m-1)(i=2,3,··· ,m)。

性質2Qi滿足關系式

且

證明 當i≥2 時，有

相似地，ξ-i-1=Qiξ-1-ξi-1，則

通過引理1，可知式(2)成立。

通過性質2，可知當Q1∈Z(2m-1)是固定數時，能求出Qi(i=2,3,··· ,m-1)的值。因此，需要討論確定Q1值的計算方法。

推論1Q1是如下方程的根，

證明 當m是偶數時，由于ξm=-1，則。于是有，即；當m是奇數時，則有

由于ξ-m=1，有ξ-m+1=-ξ,ξ-m-1=ξ-1。因此，

通過式(2)，可知m ≡0(mod 2)，

當m ≡1(mod 4)時，有

當m ≡3(mod 4)時，由于

則有，

因此，Q1是方程(3)的解。

設S是方程(3)的根的集合。對于Q1∈S，通過式(1)計算出Q2，Q3，···，Qm-1。如果存在Qi，Qj(i /=j)，使得Qi=Qj，則選擇S中的其他元素再次計算Q2，Q3，···，Qm-1。重復該過程，直到得到的Q1，Q2，···，Qm-1是兩兩不同的元素，結束該過程，從而得到X2m-1 的不可約因式分解。

例1 當m=4 時，設

其中Qi ∈Z7(i=1,2,3)是兩兩不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通過方程(3)，有

則Q1≡±3(mod 7)。

通過式(1)，得出Q2=0，Q3=?3。因此，多項式X8-1 在Z7上的不可約因式分解為

例2 當m=6 時，設

其中Qi ∈Z11(i=1,2,3,4,5)是兩兩不同的。

由于m ≡0(mod 2)，通過方程(3)，有Q31-3Q1≡0(mod 11)。因此，Q1≡±5(mod 11)。

由式(1)可知，Q2=1，Q3=0，Q4=-1，Q5=?5。因此，多項式X12-1 在Z11上的不可約多項式分解為

例3 當m=7 時，設

其中Qi ∈Z13(i=1,2,3,4,5,6)是兩兩不同的。

因為m ≡3(mod 4)，通過方程(3)，有

因此，Q1∈{3,5,6,11}。若Q1= 3，可得Q2=-6，Q3= 5，Q4=-5，Q5= 6，Q6=-3。

因此，多項式X14-1 在Z13上的不可約因式分解為

若Q1=11，通過式(1)可得，Q2=2，Q3=11，與Q1/=Q3矛盾。因此，Q1/=11。進一步驗證可知，Q1可取3、5、6。

2.2 k ＞1

引理2[10]設k是正整數，f(X)∈Z[X]，f(X)≡g1(X)g2(X)(mod(2m-1))，則存在多項式f1(X)，f2(X)∈Z[X]，使得

并且滿足

通過引理2，可知存在二元不可約多項式X2- Qk,iX+ 1(k≥2,Qk,i ∈Z)，使得fk,i(X)≡X2-QiX+1(mod(2m-1))，且多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約分解為

下面，討論當m=4 和6 時，多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解。

性質3 設ak ∈Z，滿足a1=3,，則X4+1 在Z7k上的不可約因式分解為

證明 首先證明ak ≡a1(mod 7)，1+2ak ≡0(mod 7)，a2k ≡2(mod 7k)。

當k=1 時，結論顯然成立。

對于k-1 ≥1，假設結論成立，即ak-1≡a1(mod 7),1+2ak-1≡0(mod 7)，≡2(mod 7k-1)。現在證明對于k，結論也成立。對于k，有

因此，對于k≥1，結論成立。

下面證明命題成立。

由例1 可知，X4+1 在Z7上的不可約分解為

由上述分析可知，

且有

因此，由引理2 可得，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z7k上的不可約多項式。所以X4+1在Z7k上的不可約分解為

由性質3，顯然有下列推論。

推論2設ak ∈Z，a1=3，ak=a2k-1+ak-1-2(k≥2)，則X8-1 在Z7k上的不可約多項式分解為

性質4 設ak ∈Z，滿足a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，則X4-X2+1 在Z11k上的不可約因式分解為

證明 首先證明ak ≡a1(mod 11)，1+2ak ≡0(mod 11)，

當k=1 時，顯然結論成立。

對于k-1 ≥1，假設結論成立，即ak-1≡a1(mod 11)，1+2ak-1≡0(mod 11)，a2k-1≡3(mod 11k-1)?，F證明對于k，結論也成立。

對于k，有

因此，對于k≥1，結論成立。

下面，證明命題成立。

由例2 可知，多項式X4-X2+1 在Z11上的不可約因式分解為

通過以上的證明，可得

并且

通過引理2 可知，X2+akX+1，X2-akX+1 是Z11k上的不可約多項式。因此，X4-X2+1在Z11k上的不可約因式分解是

由性質4，可得出如下推論。

推論3設ak ∈Z，a1=5，ak=a2k-1+ak-1-3(k≥2)，則X12-1 在Z11k上的不可約因式分解為

例4 設m=4，k=1，2，3，4，5，多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解如表1 所示。

表1 X8-1 在Z7k 上的因式分解Table 1 Factorization of X8-1 over Z7k

例5 設m=6，k=1，2，3，4，5。多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解如表2 所示。

表2 X12 -1 在Z11k 上的因式分解Table 2 Factorization of X12 -1 over Z11k

3 結束語

本工作主要研究了多項式X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解，分別研究了X2m-1在Z(2m-1)上和在Z(2m-1)k上不可約分解因式系數之間的關系，最后根據系數之間的關系給出了m=4 和6 時X2m-1 在Z(2m-1)k上的不可約因式分解形式。