從向量到實函數的傅里葉變換探析

王治

從向量到實函數的傅里葉變換探析

王治

（武警警官學院 基礎部，四川 成都 610213）

從介紹向量空間中內積引申出向量的傅里葉展開，然后從向量空間過渡到實函數空間，從可積函數內積得到實函數的傅里葉展開．探討向量空間中向量和實函數空間中函數的傅里葉展開，并討論二者之間的聯系，對理解基向量、基函數和傅里葉變換有一定的價值．

基向量；向量空間；函數空間；傅里葉展開

傅里葉是舉世聞名的法國數學家和物理學家．傅里葉的科學成就，主要在于他對熱傳導問題的研究，以及他為推進這一方面研究所引入的數學方法．相關研究理論對19世紀數學的發展產生了巨大的影響[1]．傅立葉的工作意義遠不止此，他迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討．傅里葉級數實際上是函數按照基函數展開的，而向量空間也可以定義基，甚至正交基和標準正交基．從而向量空間中的向量可以和實函數空間中的函數一樣，按照基展開，這就是向量的傅里葉展開．也就是向量空間中的任何一個向量都能由基向量組來線性表示[2]．同樣在數學中，基函數是函數空間一組特殊基的元素，函數空間中的連續函數都可以表示成一系列基函數的線性組合．函數空間中基函數的確定并不是唯一的．

傅里葉的三角級數理論是從研究偏微分方程起步的．傅里葉級數理論一經形成就對整個數學產生了深刻的推動作用[3]．數學上除了我們熟知的三角級數展開之外，研究學者還發現了更多的基函數，像貝塞爾基函數、多項式基函數、高斯基函數和勒讓德基函數等．目前基于傅里葉變換的研究存在于生活和科學的各個領域，如光纖傳感信號的識別、寬帶信號的傳播、家紡圖案生成技術和保密通信安全性分析等，這些研究都可以幫助我們更好地理解傅里葉級數的內涵[4]．

本文探討向量空間中向量和實函數空間中函數的傅里葉展開，并討論二者之間的聯系，對理解基向量、基函數和傅里葉變換有一定的價值．

1　向量的傅里葉展開

向量空間的任何一個基都可以通過Gram-Schmidt正交化過程轉化為正交基，再單位化就可以得到一個標準正交基．

2 實函數的傅里葉展開

數學上，只有滿足一定條件的函數（即函數要無窮次可導）才可展開成冪級數，這個條件要求較高，而傅里葉展開的條件相對容易達到，很大一類函數都能滿足．函數展開為傅里葉級數的主要目的，不只為了用一個三角多項式來近似表示其和函數，更多的目的在于它的實際應用．連續函數常用正弦函數或余弦函數的線性組合來逼近[6]，如一個連續函數可以表示一個聲波、某類電信號或力學振動系統的運動等．

當然實函數和復函數是有區別的，這里只針對實函數進行討論．可以幫助學生從更高的角度去理解傅里葉級數的內涵，并且對于理解其它形式的函數展開也是有幫助的[10]．

3 結語

通過本文的理論探討，比較向量空間的基向量和實函數空間的基函數，基向量和基函數的正交化、標準化過程，從而得到向量空間中向量的傅里葉展開和實函數空間中函數的傅里葉展開，對今后研究相關問題有理論上的借鑒價值．在學習的過程中，系統地梳理這些問題，有利于更好地掌握傅里葉級數內容和與其相關的一些專業課程．

[1] 武娜．傅里葉級數的起源和發展[D]．石家莊：河北師范大學，2008：47

[2] 同濟大學數學系．線性代數[M]．6版．北京：高等教育出版社，2014：104-107

[3] 賈隨軍，胡俊美．傅里葉級數理論成因分析[J]．咸陽師范學院學報，2017（6）：21-28

[4] 李文新．函數展開成Fourier級數的幾何解釋[J]．南昌師范學院學報，2005，26（3）：5-6

[5] 同濟大學數學系．高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2014：307-310

[6] 魏全順．關于函數的Fourier級數系統展開方法[J]．湖南第一師范學報，2007，7（1）：158-160

[7] 陳紀修，於崇華．數學分析[M]．北京：高等教育出版社，2004：409

[8] 夏道行，吳卓人，等．實變函數論與泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，2010：216

[9] 劉深泉，張萬芹，陳玉珍，等．線性代數及其應用[M]．北京：機械工業出版社，2019：384-386

[10] 湯一．探究基向量、基函數與傅里葉級數之間的聯系[J]．課程教育研究，2018（37）：136

Analysis of Fourier transform from vector to real function

WANG Zhi

（Department of Foundation，Officers College of CAPF，Chengdu 610213，China）

From the introduction of inner product in vector space，the Fourier expansion of vector is extended，then from vector space to real function space，the Fourier expansion of real function is obtained from the inner product of integrable function．The Fourier expansion of vector in vector space and the Fourier expansion of function in real function space is discussed，and the relationship between them is discussed，which is of certain value to understand the basis vector，basis function and Fourier transform．

basis vector；vector space；functional space；Fourier expansion

O174.2︰G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.03.018

1007-9831（2020）03-0092-03

2019-11-13

王治（1987-），男，山西太原人，講師，碩士，從事工程數學教學研究．E-mail：wang111zhi@126.com