具有初始應力加勁板的非線性動力學特性

馬牛靜 王榮輝

摘要：針對工程結構中常用的加勁板，研究了其在初始應力作用下的非線性振動特性。將母板與加勁肋分開考慮，其中母板按薄板理論考慮，加勁肋按Euler-Bernoulli梁理論考慮，根據母板與加勁肋的應力與應變關系建立系統的應變能表達式，同時結合系統的動能表達式，并利用Lagrange方程建立系統的非線性動力微分方程。運用橢圓函數求得加勁板單模態的非線性頻率，采用同倫分析方法求解加勁板的3：1內共振。通過參數分析，重點討論初始應力變化對系統非線性動力特性的影響，并得出初始應力的存在對加勁板非線性動力特性的影響規律。

關鍵詞：非線性振動;加勁板;初始應力;內共振

中圖分類號：0322 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0047-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.OL 005

引言

在工程結構中，由薄板與縱橫兩個方向加勁肋構成的加勁板應用比較廣泛。例如，橋梁工程和船舶工程中由交叉梁和連續矩形板構成的整體梁板結構，或機械工程及航空工程中廣泛應用具有輾制方向的金屬板、波紋板、加肋板及膠合板等。由于這類結構通常承受各種動荷載，因此其動力學特性的研究具有重要的意義。此外，由于構成這類結構的板與肋之問通常采用焊接連接，而焊接則會在結構內部產生殘余應力，進而使得結構的力學特性尤其是非線性動力學特性更為復雜，因此研究初始應力的存在對加勁板非線性動力學特性的影響不僅具有一定的理論意義，更具有明確的實際工程價值。

國內學者對加勁板的研究主要集中于靜力問題，關于其動力學尤其是非線性動力學特性的研究并不多見，張濤、彭英與馬牛靜分別在其博士論文中對加勁板的非線性動力學特性展開研究。羅曉玲等研究了初始缺陷對加勁板的非線性穩定性的影響;侯瑾與龔良貴數值研究了含有初始撓度的加筋板結構非線性動力屈曲特性;Koko與Olson用超單元對加勁板進行非線性分析;Sheikh與Mukhopadhyay用樣條有限條法分析了板與加勁板的線性與非線性瞬態振動;Ma等研究了四邊固定加勁板在主共振激勵作用下的內共振特性;Mitra等研究了簡支單向加勁矩形板承受橫向荷載的大幅振動，重點討論了加勁肋的位置、肋板面積比及厚度比對非線性動力特性的影響;Duc等研究了溫度環境下采用功能梯度材料的具有初始缺陷的加勁夾層板的非線性動力響應。然而，以上學者的研究中均未考慮初始應力的影響。

眾多學者研究了初始應力對結構的影響，趙秋與吳沖數值研究了鋼箱梁u肋加勁板焊接殘余應力分布，并提出了一種簡化計算方法，同時將其應用于加勁板的受壓承載力分析;瞿麗華等數值模擬了殘余應力對焊接工字鋼梁模態的影響;馬牛靜與趙國棟運用有限元軟件ANSYS分析了殘余應力對鋼箱梁局部振動的影響;張超等研究了初應力對壓電壓磁板中水平剪切振動的影響;Zheng與Hu研究了殘余應力的篩降效應及其對矩形加勁板強度的影響;Rossikhin與Shitikova研究了具有初始應力的彈性正交異性圓板在沖擊激勵作用下的動力穩定性;Chen研究了具有初始應力層壓板的非線性振動。盡管以上學者提出了初始應力的分析及處理方法，但這幾類的初始應力考慮方法均不易應用于常規加勁板動力分析。

非線性振動常用的求解方法有攝動法、多尺度法、漸近法、平均法、諧波平衡法等多種方法，每一種方法都有各自的特點，由Liao提出的同倫分析法因不涉及小參數，所以不僅可應用于弱非線性振動，亦可用于強非線性振動;Pirbodaghi等運用同倫分析法研究了軸向荷載作用下的Euler-Ber-noulli梁非線性動力學行為;Hassan與E1-Tawil運用同倫分析法求解了二階非線性微分方程;Ma等運用同倫分析法研究了具有移動邊界加勁板的非線性動力行為。

綜上所述，關于加勁板的動力學研究成果眾多，但均未有理想簡便的方法考慮初始應力。鑒于此，本文以截面殘余應力自相平衡原理簡便地考慮初始應力的存在，并利用能量方法推導出具有初始應力加勁板的非線性動力方程。運用橢圓函數求得加勁板單模態的非線性頻率;同時，運用同倫分析方法求解加勁板的3：1內共振。通過既有實驗對本文的方法進行驗證，并由參數分析重點討論初始應力變化對系統非線性動力特性的影響，得出初始應力的存在對加勁板非線性動力特性的影響規律，對工程設計有重要的參考意義。

1控制方程的推導

考慮如圖1所示的由縱、橫加勁肋及母板構成的加勁板，沿x，y方向母板中面的位移分別由u，v表示，沿x方向母板的撓度用w表示。板與肋均由同種各向同性材料組成。以下分析中將母板與加勁肋分開考慮，其中母板按薄板理論考慮，而加勁肋則按Euler-Bernoulli梁理論考慮。此外，根據母板與加勁肋的應力與應變關系建立系統的應變能表達式，同時結合系統的動能表達式，并利用Lagrange方程建立系統的非線性動力微分方程。

由于在工程結構中實際的初始應力分布十分復雜，在結構分析中通常加以簡化以便于計算。本文假設母板中沿x，y方向的初始應力分別為σpxo，σpyo，沿x，y方向加勁肋中的初始應力分別為σsxo，σsyo為了便于分析，假定初始應力均為常數，由殘余應力自相平衡條件得到：

2非線性頻率分析

2.1分析內容

對于工程結構而言，通常低階模態在振動過程中起主導作用，因此，低階振動特性對結構分析具有重要的指導意義。本文針對加勁板的橫向一階振動，對其非線性頻率進行分析。

2.2邊界條件

為了便于比較，本文選擇兩種典型的邊界條件進行分析，即四邊簡支且不可移動的邊界條件進行研究，可以設位移的形式如下：

2.4數值分析

2.4.1計算結果驗證

為了對本文方法進行驗證，這里選取作者在開放課題研究中已在本單位重點實驗室中實施的模型實驗結果進行比較分析。加勁板實驗模型四邊夾緊固定在振動平臺上，以此來模擬四邊固定邊界條件;通過給加勁板中心施加不同的初始位移，讓其產生自由振動;另外，采用拾振器獲取加勁板振動響應，通過振動測試系統，并利用信號分析軟件進行處理，進而獲取加勁板的非線性頻率。加勁板實驗模型雙向均設置3個加勁肋，結構參數如下：a=b=1m，E=2.O×10¹¹Pa，u=0.3，p=7.85×10³kg/m³，h=0.005m;此外，矩形加勁肋的高度均為0.05m，寬度均為0.01m;同時，實測得到的加勁板母板焊接殘余應力平均值約為35MPa。基于以上加勁板的自由振動分析，得到非線性頻率比測試值與計算值如表1所示。