基于n階GBT熱-機載荷作用下FGM梁的振動特性和穩定性分析

蒲育 周鳳璽

摘要：研究了熱一機載荷耦合作用下彈性地基FGM梁的振動特性與穩定性。考慮到材料的物性依賴于溫度變化且組分沿梁厚按冪律分布。首先，基于一種擴展的n階廣義剪切變形梁理論（n-th GBT），應用Hamilton原理，統一建立了系統自由振動及屈曲問題力學模型的控制方程，采用一種改進型廣義微分求積法（MGDQ）獲得FGM梁靜動態響應的數值解。其次，通過算例驗證GBT的有效性并給出階次n的理想取值，在豐富梁理論的同時，也可驗證或改進其他各種剪切變形梁理論。最后，討論并分析了升溫、邊界條件、初始軸向機械載荷、梯度指標、地基剛度、跨厚比等諸多參數對FGM梁振動特性和穩定性的影響。

關鍵詞：熱一機載荷;FGM梁;振動特性;穩定性;n階GBT

中圖分類號：0343.6;0326 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0064-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.007

引言

功能梯度材料（FGM）作為一種新型的非均勻復合材料，其設計的初衷是作為航天飛機表面涂層的一種熱應力緩和材料，FGM能實現結構或構件不同部位對材料功能的不同要求，因其可設計性、耐高溫、耐磨損、抗腐蝕等方面的優良特性，在航空航天、機械、生物醫療、核能等工程領域具有廣闊的應用前景。FGM梁作為諸多工程領域中廣泛使用的結構形式之一，其靜動態響應一直備受人們關注和重視。因此，FGM梁的振動特性與穩定性一直是近些年學者們研究的熱點和前沿課題。

針對FGM梁在常溫環境中工作，許多學者在這方面圍繞其振動特性和穩定性開展了一系列研究工作。例如，Chen等基于二維線彈性理論，將微分求積法（DQM）與狀態空問法（ssM）相結合，數值研究了彈性地基FGM梁的自由振動。Huang等分析了FGM圓形截面簡支梁的臨界失穩，得出了臨界載荷和臨界應力的精確解。魏東等采用矩陣傳遞法數值研究了含有裂紋功能梯度材料Euler（CBT）梁與Timoshenko（FSBT）梁的屈曲問題。Simsek建立了6種高階剪切梁理論下FGM梁自振的Lagrange頻率方程，討論了不同梁理論對頻率的影響。Thai等首次以軸向位移、彎曲撓度及剪切變形撓度為基本位移函數，采用Navier法分析了4種高階剪切理論下FGM簡支梁的頻率特性，所采用的位移場描述方法可直接量化并揭示剪切變形的影響。本文也采用該方法描述梁變形的位移場。Li等根據控制微分方程解的相似性導出了功能梯度CBT與FSBT梁的頻率及Levinson梁臨界載荷的精確解。Pradhan等采用Ritz法討論了不同梁理論對FGM梁頻率的影響。Kahya等建立了功能梯度FSBT梁臨界失穩及自由振動問題的有限元模型。但在文獻[1-11]的研究中均未考慮溫度的影響。

初始軸向機械載荷、溫度或其他因素的變化使得FGM梁產生初始軸力而改變其振動特性和穩定性。而FGM梁在高溫環境中具有顯著優勢，隨著近些年FGM梁廣泛應用于高溫工況，研究其在熱載荷作用下工作時的振動特性、穩定性及熱沖擊等靜動態響應顯得尤為必要，但這方面的研究相對較少。例如，趙鳳群等采用WDQ法分析了切向隨從力和熱載荷共同作用下功能梯度CBT梁的穩定性及振動特性。針對材料關于梁的幾何中面對稱分布，Mahi等導出了非線性升溫FGM梁自由振動響應的精確解。Pradhan等考慮了材料物性隨溫度的變化，應用DOM數值研究了變彈性地基FGM歐拉夾層梁的振動特性。文獻[15-16]均采用Reddy型三階剪切梁理論（TBT），先后應用Ritz法和SSM分析了熱環境中FGM梁的振動特性和穩定性。此外，李世榮等采用DQM得到了功能梯度FSBT梁在瞬態熱沖擊下的動態響應。最近，張靖華等采用辛方法探討了FGM歐拉梁在熱沖擊下的動力穩定特性。

綜上所述，目前針對FGM梁靜動態響應的研究主要基于不同的梁理論或采用不同的分析方法。頻率和臨界載荷兩者都作為反映梁整體力學行為的量，都需要求解特征值問題，而臨界溫度同時關乎這兩種力學行為，它對FGM梁的安全設計和功能設計具有重要指導意義。但已有文獻對這兩種力學行為關聯的探索不夠充分，且這方面的研究報道目前極為少見。

本文將2013年Xiang等提出的n階剪切變形板理論擴展為一種廣義剪切梁理論（GBT），基于n階GBT，統一建立了熱一機載荷耦合作用下彈性地基FGM梁的自由振動和屈曲方程。通過算例驗證，討論并給出了GBT階數n的理想取值。采用一種改進型廣義微分求積法（MGDQ）獲得數值解，著重討論并分析了諸多因素對FGM梁振動特性及穩定性的影響，尤其刻畫了臨界升溫值與頻率和臨界載荷的關聯，由此得出一些有益的結論。

1模型的控制方程

1.1問題的描述

考慮一長寬高分別為L×b×h的FGM彈性地基梁，z軸沿軸線方向，y軸和z軸分別沿梁的寬度和厚度方向，xoy面為梁的幾何中面。假設Wink-ler-Pasternak彈性地基剛度分別為kw和kp梁受初始軸向機械載荷為P（假設壓力為正），溫度T沿梁厚度方向穩態分布，上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，材料的物性隨溫度變化且按冪律連續分布。材料的物性參數（彈性模量E，泊松比u，熱膨脹系數a，熱傳導率K，密度p）與坐標Z和溫度T滿足

4結論

本文基于n階GBT，探討了熱一機載荷作用下彈性地基FGM梁的振動特性和穩定性。數值結果表明：

（1）擴展的n階GBT可退化為3種常見的梁理論，GBT退化而來的CBT即使對短梁而言，也能獲得較為滿意的預測結果。若采用高階剪切梁理論模型，宜取n≥3的奇數。因此，GBT適用范圍廣、具有重要的理論和工程應用價值。

（2）采用的MGDQ法行之有效，通過引入邊界控制參數，可統一編寫3種邊界梁的計算程序，具有簡便、易操作、工作量小等優點。

（3）通過量化并分析諸多因素或參數對FGM梁振動特性及穩定性的影響，可供FGM梁在較為復雜工況下的安全設計和功能設計提供必要的理論依據和應用參考。