復雜邊界條件圓柱殼自由振動特性分析

李海超 龐福振 李玉慧 繆旭弘

摘要：提出一種半解析法來分析圓柱殼結構自由振動特性。將圓柱殼殼結構在軸向方向分解為若干殼段，用沿軸向的Jaeobi多項式和沿周向的Fourier級數來表示各個殼段的位移函數，并采用罰參數法對圓柱殼結構的邊界條件和殼段問的連續性條件進行模擬;最后，基于Rayleigh-Ritz法求得圓柱殼結構的自由振動頻率。研究表明，該方法具有較好的收斂性，與公開發表文獻一致性較高，研究成果可為復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析提供數據積累和方法依據。

關鍵詞：自由振動;圓柱殼結構;彈簧參數;半解析法

中圖分類號：0326;TB123 文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）01-0056-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.006

引言

圓柱殼結構因具有良好的結構性能，在民用機械、船舶、高鐵、航空航天等各個領域應用廣泛。因此，開展圓柱殼結構自由振動特性分析研究，獲取圓柱殼結構復雜邊界條件下典型特征頻率，對指導相應的工程應用具有重要的意義。在此研究方面，孫述鵬通過解析分析與數值計算相結合的手段，研究了轉動薄壁圓柱殼的行波振動固有特性和響應特性。周海軍通過引人波傳播方法，解決了圓柱殼彈性支撐邊界自由振動的求解問題。sheng等建立了一個理論模型來研究加熱功能梯度圓柱殼在熱環境下的動力學穩定性和非線性振動。Xing等提出了Donnell-Mushtari殼理論圓柱殼自由振動的精確解。Wang等基于改進傅里葉方法，開展了中等厚度開口圓柱殼自由振動特性分析。李文達等基于Love殼體理論，對功能梯度圓柱殼自由振動行波特性及邊界約束影響進行了分析。Lee和Kwak基于Ray-leigh-Ritz法開展了一般邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析，并將不同理論計算結果進行了對比，總結了各個理論方法的優缺點。Ni等基于哈密頓原理開展了一般邊界條件下功能梯度圓柱殼自由振動特性分析。陳旭東等采用動力剛度法開展了中厚圓柱殼自由振動特性分析。

由以上分析可知，現有文獻基于數值預報法、改進傅里葉法、Rayleigh-Ritz法以及哈密頓原理等實現了圓柱殼結構自由振動特性分析，但尚未有統一的求解公式進行復雜邊界條件下圓柱殼結構的自由振動特性分析。為此，本文基于Jacobi-Ritz法提出針對復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性的統一求解公式，其中位移函數由軸向方向的Jacobi多項式和周向方向的傅里葉級數表示，邊界條件和連續性條件由彈簧剛度值來模擬。因此，本文在求解圓柱殼結構自由振動時邊界條件可以任意選取，且統一形式的Jacobi多項式較改進傅里葉法、Ray-leigh-Ritz法等更容易選取位移函數，更有利于建立統一的求解方法。

1理論方法

1.1圓柱殼結構幾何模型

如圖1所示，圓柱殼結構是由母線ab繞軸Ox旋轉而成，母線ab長為L，厚度為h，母線距旋轉軸的距離為R，假定圓柱殼結構由均質和各向同性材料組成。

由表2可知，隨著子結構劃分殼段數的不斷增加，圓柱殼結構頻率逐漸趨于收斂;同時，當子結構分段數等于5時，圓柱殼結構頻率已具有較高的精度，此后繼續增加子結構分段數對計算精度的影響較小。

2.1.3Jacobi多項式參數的影響

圓柱殼材料和結構參數與圖2相同;結構分段數H=5，M=8，以a=β=0為基準來衡量剛性固定邊界條件下不同Jacobi多項式參數取值對計算結果影響的相對誤差百分比。

由圖3可知，在其他參數一定條件下，Jacobi多項式參數a，β對圓柱殼結構振動特性的影響較小，不同Jacobi多項式參數下的相對誤差不大于2×10^-6，對計算結果的影響可忽略不計。說明Jacobi多項式可在允許范圍內任意取值，也進一步證實了本文提出的統一Jacobi多項式是切實可行的。

2.1.4最大容許函數取值的影響

圓柱殼材料和結構參數與圖2相同;結構分段數H=5，a=β=0。剛性固定邊界條件下最大容許函數對圓柱殼結構振動特性的影響如圖4所示。

由圖4可知，當最大容許函數M不小于4時，計算結果已趨于穩定，此后最大容許函數M的增加對增加計算精度影響較小，無特殊說明情況下本文選取M=8。

2.2計算結果的有效性驗證

前文已驗證本文方法收斂性，為將本文方法應用于復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析，需開展本文方法的有效性驗證，將一般邊界條件下圓柱殼結構振動頻率與文獻[13]進行比對。圓柱殼結構、材料參數取值等與圖2相同，對比結果如表3所示。

由表3可知，本文方法與文獻[13]具有較高的一致性，說明本文方法可用于一般邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析。實際工程應用中，圓柱殼結構邊界條件往往更加復雜，為將圓柱殼結構邊界條件擴展到復雜邊界條件，需進行彈性邊界條件下圓柱殼結構自由振動有效性驗證。彈性邊界條件下圓柱殼結構自由振動頻率對比如表4所示。

由表4可知，彈性邊界條件下，本文方法與文獻[13]同樣具有較高的一致性，由此可將本文方法擴展到復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析。彈性邊界條件下本文方法的誤差主要來自表1彈性剛度值大小的選取，當選取彈性范圍內更合適的彈簧剛度值，可使計算誤差進一步減小。同時，由表4可知，隨著周向波數n的增大，不同彈性邊界條件對圓柱殼結構自由振動特性影響逐漸減小。

2.3復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析

基于上述研究，開展復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性研究，為復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動分析提供數據參考。復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性如表5所示。

由表5可知，不同邊界條件對圓柱殼結構振動特性的影響存在較大差異。同時，同一周向模態下，軸向模態數越大，圓柱殼結構固有頻率越高。

為探究圓柱殼結構尺度參數對其自由振動特性的影響規律，開展不同長度半徑比值下圓柱殼結構自由振動特性研究。圓柱殼材料參數同圖2，結構分段數H=5，M=8，a=β=0，不同長度半徑比值下圓柱殼結構自由振動特性如圖5所示。

由圖5可知，同一周向和軸向波數下，圓柱殼長度與半徑的比值越大，自由振動頻率越小;同一周向波數下，圓柱殼結構自由振動頻率隨軸向波數的增加逐漸增大。

3結論

本文基于Jacobi-Ritz法提出統一的求解公式，開展了任意邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析。通過本文研究，可得如下主要結論：

1.圓柱殼結構收斂性與彈簧剛度值大小、殼段數、Jacobi參數及最大容許函數選取等有關。當彈簧剛度值K≥10³E時可視為剛性邊界條件;當彈簧剛度值K=0時可視為自由邊界條件;當彈簧剛度值在10^-4E≤K≤10^-2E范圍內時可視為彈性邊界條件。殼段數劃分越多，本文方法求解精度越高，計及求解效率等因素，殼段數劃分不宜過大;Jacobi多項式參數對圓柱殼結構自由振動頻率影響較小，可忽略不計;最大容許函數M越大，計算精度越高。

2.一般邊界條件下，基于Jacobi-Ritz法的圓柱殼結構振動特性分析結果與文獻[13]計算結果吻合較好，說明本文方法可用于復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性分析。

3.給出了復雜邊界條件下圓柱殼結構自由振動特性規律，為圓柱殼結構自由振動特性分析提供了數據積累及方法依據。

4.同一周向和軸向波數下，圓柱殼長度與半徑的比值越大，自由振動頻率越小;同一周向波數下，圓柱殼結構自由振動頻率隨軸向波數的增加逐漸增大。