基于Winkler基體的滾柱絲杠降維接觸模型研究

劉佳 彭航 羅英 張毅雄 朱紫豪 顏達鵬

摘 要：本文結合滾柱絲杠傳動副結構特點和赫茲接觸理論，采用降維法快速求解，基于Winkler基體研究了滾柱絲杠傳動副接觸模型;通過自編譯程序分析了一型滾柱絲杠傳動副接觸作用力，進行了有限元分析驗證。結果表明，該方法可用于滾柱絲杠傳動副接觸分析，可與赫茲接觸方法相結合，為進一步研究滾柱絲杠傳動副傳動特性奠定基礎。

關鍵詞：滾柱絲杠傳動副;Winkler基體;接觸

中圖分類號：TH21 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2020）08-0011-03

Research on Dimension Reduction Contact Model of Planetary Roller Screw Based on Winkler Foundation

LIU Jia PENG Hang LUO Ying ZHANG Yixiong ZHU Zihao YAN Dapeng

（Science and Technology on Reactor System Design Technology Laboratory in Nuclear Power Institute of China，

Chengdu Sichuan 610041）

Abstract： In this paper， combined with the structural characteristics of the planetary roller screw and Hertz contact theory， the dimension reduction method was adopted to solve the problem quickly， and based on Winkler Foundation， the contact model of the planetary roller screw was studied; the contact force of the planetary roller screw was analyzed by self compiled program， and the finite element analysis was carried out to verify the model. The results show that this method can be used for contact analysis of the planetary roller screw， and it can be combined with Hertz contact method to lay a foundation for further study of transmission characteristics of the planetary roller screw.

Keywords： planetary roller screw;Winkler foundation;contact

滾柱絲杠傳動副是一種能將旋轉運動與旋轉運動相互轉換的傳動機構[1]，常見形式如圖1所示。由于應用場景不一，該種傳動機構的具體結構形式多樣，主要結構特點包括軸向中心的絲杠（具備螺紋升角，直徑一般比滾柱大）以及周向均布的多個滾柱（具備或不具備螺紋升角，直徑一般比絲杠小，軸向長度較絲杠小）。該種傳動機構由瑞典科學家Carl Bruno Strandgren于20世紀40年代發明，已發展成為一種廣泛應用的優秀傳動裝置。其核心傳動部件為滾柱絲杠，每個滾柱的多個面與絲杠表面接觸，接觸形式為線接觸。該種接觸形式與大量廣泛應用的滾珠絲杠傳動副相比，由點接觸變為線接觸，傳動性能更為優異。

滾柱絲杠傳動副的接觸問題一直是人們關注的重點和研究的難點，一般常見的分析方法為有限元分析或基于赫茲接觸理論開展分析。赫茲接觸理論及接觸數值解法對滾柱絲杠傳動副中的線接觸可得到有效解[2]，但一般分析復雜。根據彈性力學基本原理，接觸表面上一法向作用力會影響該法向力作用點附近區域。當傳動副接觸表面作用力為分布力時，滾柱絲杠傳動副接觸表面上接觸區域內任一點的位移不僅僅由作用于該點的法向力大小決定，即接觸表面任一點的位移取決于接觸表面壓力分布。因此，如果僅由滾柱表面與絲杠表面的干涉值求解分析干涉位置的法向接觸力，困難較大。

針對上述困難，可以采用降維法快速求解[3]，基于Winkler基體將三維接觸映射到一維接觸。Winkler彈性基礎或“墊子”的核心思想是接觸區域內任一點的位移僅由作用于該點的法向力大小決定，即接觸表面任一點的位移取決于接觸表面該點處的壓力分布情況。本文將采用基于Winkler基體的降維接觸模型研究滾柱絲杠接觸問題。

1 滾柱絲杠傳動副Winkler應力模型

傳動副接觸時，每一個滾柱絲杠接觸面上，滾柱表面軸向方向的接觸長度遠遠大于垂直該方向的接觸長度，因此截取垂直于滾柱軸向的接觸面為分析曲面，如圖2所示。

[分析截面][絲杠軸截面][滾柱軸截面]

圖2 接觸分析截面

在分析視圖內，傳動副可互相表示為彈性“墊子”，彈性“墊子”設置大量無相互作用垂直于接觸表面的彈簧，即忽略傳動副內各相鄰單元之間的剪切力。模型示意圖所圖3所示。

可建立接觸模型中的傳動副接觸法向方向的干涉值與彈性位移的關系：

[uz=dmax-x22R]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中，[uz]為接觸區域的彈性位移，mm;[dmax]為絲杠與滾柱接觸面中的最大干涉值，也為接觸面對稱軸處的最大干涉值，mm;x為接觸面與接觸對稱軸的距離，mm;R為接觸綜合曲率半徑，mm。

其中，接觸區域邊緣有彈性位移[uz]，大小為0，由此可知：

[b=2R·dmax12]? ? ? （2）

式中，[b]為半接觸寬度，mm。

根據彈性力學基本原理可得，接觸范圍內任一點的接觸壓力（接觸應力）為：

[px=K·uzh]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

式中，[K]為基礎彈性模量或彈簧剛度;[h]為基礎深度。

對式（3）在接觸范圍內進行積分，可得接觸軸向方向上單位長度的線接觸力，即

[P=-bbpxdx=Kh-bbdmax-x22Rdx=2Kb33hR]? ? ? ? ? （4）

本模型中的單位長度線接觸力要與基于赫茲理論的分析結果保持一致，由此可得：

[Kh=3πE*8b]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

因此，傳動副接觸范圍內任一點接觸應力可表示為：

[p=3πE*82R·dmaxuz]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

當傳動副相對位置固定時，式（6）中[dmax]為已知量，并結合數值求解方式可得任一點的接觸深度[uz]，即可分析得到任一點的接觸應力。

2 滾柱絲杠傳動副Winkler接觸力模型

基于接觸點接觸深度與接觸應力的關系，為進一步分析滾柱絲杠傳動副接觸狀態（或干涉深度）與接觸力之間的關系，考慮在滾柱各齒上齒面選取足夠多具有合適相對位置的點，并結合式（1）分析傳動副接觸區域接觸深度，結合式（6）分析各接觸點接觸應力，最后考慮各接觸點所代表的接觸微元區域面積，求出微元接觸力，再求出當前傳動副狀態下的接觸力。

考慮到滾柱為旋轉體，以滾柱軸線中心面所在柱坐標進行分析，選取滾柱接觸面上任一點[Ar，β，z]，且相鄰兩點之間半徑、角度差值為定值[dr、dβ]，因此任一[A]點所表示的面積可表示為：

[ds=r·dr·dβ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

當確定傳動副相對位置狀態時，接觸力可表示為：

[F=pds=3πE*82R·dmaxuz·dr·dβ]? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

3 滾柱絲杠傳動副接觸力分析

針對單一接觸面承載約55 N的滾柱絲杠傳動副，采用Winkler接觸力模型，通過Matlab編譯程序進行傳動副接觸力分析。分析得出，最大接觸深度為0.000 12 mm，最大接觸半寬度為0.06 mm，最大接觸應力約為270 MPa。與ANSYS軟件接觸靜力學有限元分析結果236 MPa對比分析，誤差為14.4%。

4 結論

本文采用基于Winkler基體的降維接觸模型及分析方法，研究了滾柱絲杠接觸問題，分析結果經過了有限元分析方法驗證。結果表明，該方法可用于處理滾柱絲杠傳動副接觸問題，可與赫茲接觸方法相結合，為進一步研究滾柱絲杠傳動副傳動特性奠定基礎。

參考文獻：

[1]劉更，馬尚君，佟瑞庭，等.行星滾柱絲杠副的新發展及關鍵技術[J].機械傳動，2012（5）：107-112.

[2]姚琴，吳立言，劉更，等.行星滾柱絲杠副彈塑性接觸分析[J].機械傳動，2016（11）：106-110.

[3]Popov V L，Hess M.Method of Dimensionality Reduction in Contact Mechanics and Friction[M].Beijing：Tsinghua University Press，2015.