對音叉接觸紙張的“低音”現象研究

馬茂杰 周廷明 張 君

(四川省成都市溫江中學 四川 成都 611130)

趙蕓赫

(首都師范大學附屬中學 北京 100048)

當一個音叉在一張紙上振動時(圖1)(其間的接觸很弱)，所發出的聲音頻率可以低于音叉發聲的基本頻率.在進行實驗的過程中，我們的確能夠采集到低于音叉基頻的穩定聲音頻率，與此同時的是在整個系統的聲音中還存在著更高的聲音頻率 .其頻率接近于音叉基頻的整數倍.通過查閱文獻，我們了解到高次頻率的出現可能正是泛音現象，即駐波原理.但是在相應的文獻中卻并未提及低音現象的成因.因此，我們將在本研究中探究低音現象的成因，提出理論模型，并在實驗上給予其定性的驗證.

圖1 音叉和紙張

1 理論模型

1.1 系統振動模型

在探究的問題中，由于并未對紙張的固定方式進行限制，因此存在多種可能.在預實驗中，我們嘗試了對紙張的3種固定方式，即單邊固定、對邊固定以及懸掛固定.在此3種方式中，單邊固定時能出現較為穩定低音現象，對邊固定則難以出現低音現象，而懸掛固定則由于紙張的彈飛，無法得到較為穩定的低音頻率.因此將在本研究后續過程中，皆采用對紙張采用單邊固定的方式.

當紙采用圖2所示的單邊固定方式,即紙張滿足一邊固定、三邊自由的振動方式，則在音叉與固定紙張所組成的系統中，可將紙張及其固定支架視作“懸臂梁”，而音叉則對“懸臂梁”提供外界的周期性簡諧激勵.于是可以將整個系統的振動模式建立模型為“懸臂梁的受迫振動”.

圖2 采用單邊固定方式的紙張

1.2 紙張的自由振動模型

考慮紙張在振動時，正面截面在彎曲變形的過程中始終保持為平面，即忽略截面繞中心軸轉動(過形心使截面上下對稱的軸)的慣性效應和截面的剪切形變.則可使用梁的簡化模型——歐拉-伯努利梁模型來進行紙張的振動分析.

對于一張密度為ρ，長為l，厚度為b，高為h，彈性模量為EI的紙張(其中長寬高的定義如圖3所示)，通過查閱文獻[1]知應滿足如下的振動方程

(1)

其中w(x,t)是位移(即撓度)，f(x,t)是沿彎曲方向的負載.

圖3 紙張的長寬高

討論紙張自由振動時所滿足的方程，給出懸臂梁的邊界條件后進行求解，根據文獻[1]中的求解知，得到對應各階的固有頻率為

(2)

(3)

對于一般紙張的振動形式應滿足圖4所示的一階振動，并且由于本實驗主要在于對基頻的探究，取i=1,則式(3)可進一步化為

(4)

圖4 前三階振動圖示

1.3 音叉的簡諧激勵下系統的振動

接下來考慮音叉所帶來的簡諧激勵影響.

通過查閱文獻[2]知，系統在簡諧力作用下的受迫振動，在初始階段的系統響應是暫態響應與穩態響應的疊加.在暫態響應中，整個系統響應是由3部分所疊加而成，即初始條件引起的自由衰減振動、簡諧激勵引起的伴隨自由振動以及簡諧激勵引起的純粹強迫振動.引用文獻[2]中的圖示(即圖5)可知，系統的響應會由一段時間的疊加頻率過渡到激振頻率，在此期間若激振頻率高于系統的固有頻率時，則可在暫態響應中出現中明顯的低音現象.

圖5 暫態響應中的頻率疊加

因此，低音產生的主要是源于紙張初始的自由振動.其頻率取決于紙張初始自由振動的頻率.

根據所求得的公式，在其他條件不變時，下面幾種情況都會使紙張固有頻率降低，進而導致系統的低音頻率降低，即：

(1)當紙張彈性模量減小時；

(2)紙張長度增加時；

(3)紙張側面的高減小時；

(4)紙張側面的寬減小時.

值得注意的是，由于在具體的實驗中很難對初始條件即簡諧力的施加時機進行控制，故每次實驗得出的頻譜圖具有不唯一性.正是由于這個緣故，在此后的實驗中只能從整體趨勢上來對理論進行定性的驗證.

2 實驗探究

2.1 實驗裝置及設計

實驗裝置(圖6)包括鐵架臺、音叉、海綿(固定且避免帶動裝置振動)、限制裝置(控制紙與音叉的接觸程度)、手機(采集音頻)、固定支架、固定夾.

圖6 實驗裝置

在實驗過程中，先用敲擊器敲打音叉，然后再轉動支架使得音叉與紙張接觸，等待聲音頻率趨于穩定時，對音頻進行采集，最后再導入軟件Adobe Audition對其進行頻譜分析.

因材料所限，暫且無法對紙張的密度ρ，紙張的彈性模量E進行實驗探究.因此接下來的探究包括4個部分：紙張厚度、紙張高度、紙張的長度以及紙張的褶皺程度.

2.2 探究紙張厚度對低音頻率的影響

選取同種厚度不同的素描紙(長×寬=10.00 cm×5.00 cm)，其厚度分別為0.32 mm，0.22 mm，0.15 mm.

根據實驗數據作出紙張厚度對低音頻率的影響圖像，如圖7所示，由圖可知，在其他條件一定的情況下，隨著紙張厚度的增加，低音頻率呈上升趨勢.符合理論預測.

圖7 紙張厚度對低音頻率的影響

2.3 探究紙張高度對低音頻率的影響

選取3張同種紙張，其長度皆為6.00 cm，高度依次為6.00 cm，4.00 cm，2.00 cm.作出紙張高度對低音頻率的影響圖像，如圖8所示.

圖8 紙張高度對低音頻率的影響

由上圖知，在其他條件一定時，隨著紙張高度的增加，低音頻率的值也隨之增高.符合理論的預測.

2.4 探究紙張長度對低音頻率的影響

對于紙張長度的討論，我們認為其中存在有兩種不同的情況.一種是對于擊打位置不同所引起的紙張有效長度的改變.另一種則是由紙張本身長度不同所引起的.

在第一種情況中，對于同一張紙，將其劃分為9個區域,如圖9所示，分別記錄每個區域產生的低音頻率.(擊打位置皆為每個區域的中軸，圖中數值代表每個邊界分別到右邊界的距離)

圖9 紙張分區圖示

根據所得數據，作出單張紙的長度分區對低音頻率的影響圖像，如圖10所示.

圖10 探究單張紙的長度分區對低音頻率的影響

由上圖的統計數據知，對于同一張紙，距離固定邊界越遠的區域，產生聲音的頻率會更低.

在第二種情況中，選取等寬(6.00 cm)的3張同種水彩中紋紙，其長度依次為6.00 cm,11.00 cm,16.00 cm(固定紙張所消耗的長度為1.00 cm，即實際有效長度分別為5.00 cm,10.00 cm,15.00 cm，如圖11所示).

圖11 3種紙張示意圖

對于數據采集，我們依然分區討論的方式來比較在該種情況下紙張長度對低音現象出現的影響.得到的數據如表1所示.

表1 多張紙的不同長度分區對低音頻率的影響

續表1

由上表的統計分析可得，在其他條件一定時，根據紙張的長度比例1∶2∶3，在相應的比例分區中，低音頻率值呈現隨紙張長度增加而降低的趨勢.

若以短紙的一區、間紙二區和長紙三區為一組，短紙二區，間紙四區和長紙六區為二組，以此類推，可得到如圖12每組中3種紙的頻率對比.

圖12 每組頻率對比

同時我們也注意到，在實驗過程中這3種紙中都存在這樣的現象：開始時，頻率隨分區增大而穩步下降，而后在兩個相近的分區頻率急劇下降的現象，此后頻率的下降再次趨于穩定.

由以上兩種對紙張長度的討論，可知在兩種情況下都有隨著紙張長度的增加，所產生的低音頻率會呈現下降趨勢，符合理論的預測.

2.5 探究紙張褶皺程度對低音頻率的影響

選取兩組不同(素描紙與打印紙)的紙張(紙張大小：長×寬=8.00 cm×8.00 cm).每組紙張均為同種等大的紙張.在每組中存在經過褶皺處理的紙張和未經處理的原紙張.實驗得到的圖像如圖13和圖14所示.

圖13 褶皺對低音頻率的影響(一組)

圖14 褶皺對低音頻率的影響(二組)

在兩組數據中，原紙張的低音頻率均高于變形紙張的低音頻率.即有如下的結論：在其他條件不變時，紙張的褶皺程度越大，則在低音現象中，其頻率更低.

另外，我們認為經過褶皺處理的紙張的低音頻率降低的可能原因是其彈性模量發生了改變(減小)，繼而導致其固有頻率減小.

3 結論

本研究針對音叉接觸紙張的低音現象進行了研究，通過觀察實驗現象，得到在同一音叉的相同激勵下，低音現象與紙張的固有性質有關的結論,基于此建立了懸臂梁的受迫振動理論模型對該現象中低音現象的產生進行了解釋，得到紙張的長度、寬度、厚度、彈性模量和密度對低音頻率的影響關系，據此，設計了實驗分別驗證了紙張的長度、寬度、厚度和褶皺程度這4個變量對低音的影響，得到低音頻率隨紙張的長度增加、厚度減小、寬度減小、彈性模量減小而降低的結論.