“四點共圓”突破關聯運動中的難點

周耀虎

(合肥一六八中學 安徽 合肥 230601)

關聯運動一直是高中物理學習中的一個重點與難點，在兩個及兩個以上物體的運動問題中，關聯速度的分析尤其重要，是學生學習中的攔路虎和易錯點，具有典型性．正確建立連接體間的速度關聯關系，是求解連接體有關速度問題的切入點，也是求解有關連接體綜合問題的關鍵．

1 經典錯題分析原因

【情景】如圖1所示裝置，兩輛小車以相等的速率v0向相反的方向對稱地牽引物體，求此時(輕繩于豎直方向夾角為θ)物塊的速度v．

圖1 錯誤的速度分解

不少學生可能會這樣做：按圖1的形式將兩個v0直接合成

(1)

得到

v=2v0cosθ

(2)

式(2)是一個錯誤的結果，那么錯在哪里呢？

問題的關鍵在于，學生忘記力與速度的合成是有區別的：物體運動對兩根繩子產生的效果是獨立的，速度分解如圖2所示.

圖2 正確的速度分解

不管以哪根繩子分解，因為繩子長度不變，所以總有

vcosθ=v0

(3)

因此

(4)

2 一般情況探尋規律

【變式】如果兩車的速度大小不相等，如圖3所示v1>v2，兩繩子夾角為α，求此時物體的速度大小和方向．

圖3 合速度分解到左邊沿繩和垂直于繩

由于兩車速率不相等，所以物體的速度不再是豎直向上的，問題由之前的特殊情況變成一般情況，分析如下.

設物體的速度與左邊繩子的夾角為θ，由于兩根繩子總長度都不變，按圖3方式把速度分解到左邊沿繩和垂直于繩方向，得到

v1=vcosθ

(5)

同理按圖4方式把速度分解到右邊沿繩和垂直于繩方向，得到

v2=vcos(α-θ)

(6)

由式(5)和式(6)聯立可

cosα+sinαtanθ

(7)

由式(7)解得

(8)

將式(8)化簡得

(9)

將式(9)代入式(5)或式(6)均可得到

(10)

圖4 合速度分解到右邊沿繩和垂直于繩

如果每次都是這樣分析，確實很麻煩，學生就算理解了，做起來還是不能得心應手，所以，我們可以把圖3和圖4合并為一個圖，總結為：“四點共圓”，具體做法如圖5所示.

圖5 “四點共圓”

設v1(AB)和v2(AC)的夾角為α，作一個外接圓，AB與BD相互垂直，AC與CD相互垂直，這兩組均是沿不同繩子分解的速度分量，從圖中可以看出合速度v的大小就是圓的直徑AD的長度，我們只要求出圓的半徑，就可以知道合速度的大?。?/p>

根據余弦定理可得

(11)

從圓心向BC作垂線，則等分BC，且BC與兩半徑組成的等腰三角形頂角的一半仍為α，由三角函數可求出圓的半徑

(12)

由式(11)和式(12)聯立可得合速度為

(13)

只要把上述作圖的思路講清楚，三步就可以求出合速度，學生以后再遇到類似問題不僅是懂了，更能快速地解出答案．

3 實戰演練防止定勢

突破了這類題，并不代表以后就不會錯，平時要教育學生認真審題，要防止出現思維定勢，下面再來看一道非常好的變式題.

【例題】圖6為在平靜海面上，兩艘拖船A和B拖著駁船C運動的示意圖．A，B的速度分別沿著纜繩CA和CB方向，A，B，C不在一條直線上．由于纜繩不可伸長，因此C的速度在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等，由此可知C的( )

圖6 例題圖示

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B．速度大小一定不小于A，B的速度大小

C．速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D．速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內

這道題很容易按照思維定勢誤選選項A和C，但是由于船C的速度方向未知(不知道是往前走還是在轉彎)，可能在AC與BC繩子之間，也可能不在AC與BC繩子之間，故兩船速度大小無法比較，從本文之前的分析來看，船C速度的某一個沿繩分速度一定等于拖船A或B，則兩拖船速度一定小于C船速度；故選項A錯誤，B正確.

由于船C的合速度方向未知，若在AC與BC繩子之間，就可以利用“四點共圓”算出合速度的數值

也可能不在AC與BC繩子之間，速度分解如圖7所示，這時候就要注意與之前的區別了.

故選項C正確，D錯誤．

圖7 合速度不在兩繩間的分解

4 結論

通過上面問題的討論，可以看出不要以為有3個矢量，就簡單地認為其中一個就是另外兩個矢量合成的結果[1]．物理教學應該教會學生從這類問題中的錯誤汲取經驗，錯不過三，為后期的學習與復習打下好的基礎，這樣才是真正高效的復習．