均勻帶電半球殼軸線上的電場的深入研究及應用

徐遠飛

(南京市南化第二中學 江蘇 南京 210048)

1 存在問題

均勻帶電半球殼問題可以看作是均勻帶電球殼的電場特性的應用，對于一些特殊的位置可以采用填補法、等效法、對稱性分析等方法，在理解均勻帶電球殼的基礎上，利用技巧解決半球殼的問題．

【例1】已知均勻帶電球殼內部電場強度處處為零，電勢處處相等．如圖1所示，正電荷均勻分布在半球面上，Ox通過半球頂點與球心O的軸線．A和B為軸上的點，且OA=OB，C和D為直徑上的兩點，且OC=OD，則下列判斷正確的是( )

A.A點的電勢與B點的電勢相等

B.C點的電場強度與D點的電場強度不相等

C.A點的電強度與B點的電場強度相同

D.在A點由靜止釋放重力不計的帶正電的粒子，該粒子將沿AB做勻加速直線運動

圖1

例1是一個較為典型的均勻半球殼軸線上的電場問題．C，D兩點的電勢是否相等，可以用對稱性來分析．對稱性又叫不變性，外爾對此所作的定義是，如果我們對一件東西可以進行操作，使得操作后這件東西仍舊和以前一樣，我們就叫這件東西是對稱的[1]．按照不變性定義分析，半球殼以x軸由C周旋轉到D前后沒有發生變化，可見C和D的位置具有對稱性，C，D點的場強大小相等．

A，B位置顯然對于球殼而言沒有對稱性，A，B點的電場強度大小該如何判斷，可以使用填補法．將題中半球殼補成一個完整的球殼，且帶電均勻，設左、右半球在A點產生的場強大小分別為E1和E2，根據均勻帶電球殼內部電場強度處處為零的特性，可知E1=E2．根據對稱性，左、右半球在B點產生的場強大小分別為E2和E1，且E1=E2．可以得出A的場強大小為E1，方向向右，B的場強大小為E2，方向向右，所以A點的電場強度與B點的電場強度相同．

由例1可以發現，我們可以通過技巧來解決一些半球殼電場相關問題，方法比較巧妙，但從另外一個角度來看，技巧偏重于解題，但是對于深刻理解均勻帶電半球殼軸線上的電場的確切情況提供不了太多幫助，技巧可以解決部分特殊位置的定性判斷，但是定性判斷的準確性還是有必要從理論研究上得以保證．對于選項D的判斷， 用分析很難得出帶電粒子準確的運動情況．

筆者查閱了一些資料[2]，發現有一些文章對于均勻帶電半球殼軸線上的電場也進行了深入研究，但得出的結果仍然是限定在特定范圍，結論不夠完善．

2 均勻帶電半球殼軸線上的電場的推導

2.1 均勻帶電半球殼軸線上電場計算的基本方法

點電荷組所產生的電場在某點的場強等于各點電荷單獨存在時所產生的電場在該點場強的矢量疊加[3]，計算均勻帶電球殼軸線上任意一點的電場強度，基本思路是應用靜電場場強疊加原理．均勻帶電半球殼具有軸對稱性，由此可以推斷半球殼的軸線上的電場在y軸上的分量相互抵消，場強方向必定沿著x軸的方向，如圖2(a)所示．

設均勻帶電半球殼的帶電荷量為q，電荷面密度為σ，半徑為R，在半球上取微元dS，dS在微元環L上，如圖2(b)所示，可得出

dS=sinθR2dθdφ

dq=σsinθR2dθdφ

根據點電荷電場強度公式可得

圖2 x>0時軸線上的場強分析

設P點距離O點的距離為x，根據圖2(a)幾何關系可得

r2=(x+Rcosθ)2+(Rsinθ)2=

x2+R2+2xRcosθ

微元dS對P的場強在x軸的分量為

(1)

對dEx積分可得

對此積分采用換元積分法，令

x2+R2+2xRcosθ=t2

球殼電荷量q與電荷面密度的關系

代入上式可得

2.2 均勻帶電半球殼軸線上電場分段考慮及特殊點的計算

根據以上推導可得出軸線上離O點距離為x的點P的電場強度大小，分析式(1)可以看出，場強dEx的表達式與△BPD的幾何形狀有關系，P點的位置不同，得出來的dEx可能不同，積分上下限也有區別，導致積分所得的結果不同，因此要對P點的位置討論，進行分段運算．

(1)x>0的位置已經推導．

(2)x=0時，有

kσcosθsinθdθdφ

(3)當-R

圖3 -R

由上式可以看出，在-R0的位置產生的場強表達形式相同．

(4)當x=-R時，有

(5)當x<-R時，如圖4所示，有

圖4 x<-R時的場強分析

可得

同時，旅游者行為研究對象多以旅游活動類型為劃分依據，涵蓋廣泛，涉及鄉村旅游者、生態旅游者、出境旅游者、養老旅游者、女性旅游者、高鐵旅游者、黑色旅游者、民族旅游者、自駕車旅游者、體育旅游者、智慧旅游者等諸多大類，呈現聚焦式、微觀化的研究特征。其中，對于鄉村旅游者、生態旅游者、女性旅游者的研究關注度最為集中，對于出境旅游者、高鐵旅游者的研究則具有濃郁的新時代中國發展特色。此外，隨著中國老齡化時代、智慧旅游時代的到來，未來國內旅游者行為研究的案例對象選擇會向養老旅游者、智慧旅游者等新型旅游者拓展，深化對獨特旅游者個體的微觀專題化研究。

設沿著x軸的方向為正

綜上得出均勻帶電半球殼軸線上的電場強度為

用Geogebra軟件生成函數圖像，如圖5所示，可以直觀地了解軸線上場強的分布情況．

圖5 用Geogebra軟件生成的場強分布圖像

3 均勻帶電半球殼軸線上電場分布的總結及應用

通過計算可以發現，均勻帶電半球殼軸線上的電場是比較復雜的，但是可以總結出一些結論：

(1)以x軸方向為正，可以發現在x>-R的范圍內，電場強度的方向都為正，在x<-R的范圍，電場方向為負．

(3)在-R

(4)電場強度在A點的(x=-R)位置出現突變，電場強度方向沿x軸負方向，大小

【例2】均勻帶電球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場．如圖6所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M，N兩點，OM=ON=2R，已知M點的電場強度為E，則N點的場強為( )

圖6 例2題圖

解析：

根據對稱性可知左半球對N點的場強大小等于右半球對M點的場強，此題選項A正確．

方法二：將x=-2R和x=2R的情況分別代入推導出的公式進行計算

負號表示方向.根據題意可知

【例3】(競賽)如圖7所示，半徑為R的均勻帶電球面,電荷的面密度為σ,試求球心處的電場強度．

圖7 例3題圖

方法一：面元△S在O點產生的電場在z軸的分量為

式中ΔScosθ為面元在xOy平面的投影，由此可得

方法二：應用場強疊加原理直接積分得

4 結束語

通過對均勻帶電半球殼的軸線上電場的深入研究，對軸線上的電場分布情況的理解更加全面，而不是停留在基于技巧的對特殊位置的片面理解，對相關問題的解釋、教學、命題都有所幫助．