利用兩個結論巧解一道難題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

瞬態過程具有很強的規律性，在物理學中的應用比較廣泛.下面給出關于瞬態過程的兩個結論，并用來解答一道有關“電容器-滑動桿”的瞬態電路問題.由此可對解題過程化繁為簡，顯得巧妙快捷.

結論1:對于一個瞬態過程的變量x=f(t)，設初始值為x0=f(0)，穩態值為x∞=f(∞)，時間常數為τ，若滿足一階常系數線性微分方程

則其通解為指數函數

即

上述兩個結論可分別稱為瞬態過程的結論和電容器等效變換的結論.對于按指數函數規律變化的瞬態過程，只要推導出關于某個變量的一階常系數線性微分方程的標準形式，得出3個要素，即可寫出某個物理量隨時間變化的關系式.對“電容器-滑動桿”瞬態電路問題的解答，可將電容器等效替換為一個滑動桿，對應3個參數，由此轉換為雙桿滑動的純電阻電路問題，拓展了解題思路和方法.下面進行舉例分析.

【例題】如圖1所示，水平放置的光滑金屬導軌，處在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B，導軌間距為l，足夠長，電容器的電容為C，金屬棒ab垂直于導軌放置，其質量為m，電阻為R，導軌電阻不計.現有一個水平向右的恒力F垂直作用在棒ab上，設電容C足夠大，求金屬棒運動的速度和加速度隨時間變化的關系式.

圖1 題圖

解析：金屬桿在恒力作用下切割磁感線，產生感應電動勢E=Blv，給電容器充電，電路中形成電流，使金屬桿受到水平向左的安培力的作用.可將電容器轉換為滑動桿a′b′，其電阻為零，初速度為零，質量m2=CB2l2，如圖2所示，設右桿的質量m1=m.在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態，設某時刻兩桿的速度分別為v1和v2，產生感應電動勢，因兩個電源反向串聯，且v1>v2，故整個回路的感應電動勢為

e=Bl(v1-v2)

則感應電流為

圖2 將電容器轉換為滑動桿a′b′

以向右為正方向，對左、右兩個金屬桿由牛頓第二定律分別列出微分方程為

對感應電流關于時間取導數為

聯立可得

式中

設

則有

這是關于感應電流i的一階常系數線性微分方程的標準形式.設i=f(t)，可知電流的穩態值為

時間常數為

感應電流的初始值為f(0)=0，由瞬態過程的結論可知方程的解為

由牛頓第二定律得加速度為

則相對速度為

對整體由動量定理有

Ft=m1v1+m2v2

兩式聯立得

將速度關系式對時間取導數也可得加速度關系式.

這就是如圖1所示的“電容器-滑動桿”電路中滑動桿運動的速度和加速度.

速度關系式和加速度關系式還可分別變形為

這就是如圖2所示的雙桿在磁場中運動時主動桿的速度和加速度.

可見，當感應電流趨于穩態時，兩個金屬桿具有相同的恒定加速度，都將做勻加速直線運動.若m1=m2=m，則此時主動桿和從動桿運動速度隨時間變化的關系式分別為

都隨時間線性增大.

對于“電容器-滑動桿”電路，雖然感應電動勢和電流都可趨于穩態，加速度也能趨于穩態，但滑動桿的速度不能趨于穩態.或者說，滑動桿先做初速度為零的變加速運動，經歷時間為

后，將趨于勻加速運動，加速度為

對應的初速度即此時速度圖像切線的縱截距為

雖然根據兩個電路的等效性可以求出某些物理量，但要注意個別物理量是不同的，例如兩個電路中的感應電動勢不相等.