開區間內連續函數最值問題的探討

黃明秋

(長沙航空職業技術學院，湖南 長沙 410124)

我們知道，閉區間[a,b]上的連續函數f(x)一定存在最大值與最小值，并且函數在閉區間[a,b]上的最大值與最小值只能在區間(a,b)內的駐點處、不可導點處，以及在區間的端點處取得。因此，求閉區間[a,b]上的連續函數f(x)的最值，只需求出以上3種點處(存在的話)的函數值，然后比較這些函數值的大小，即可得出函數的最大值與最小值。

同時，我們也知道開區間(a,b)內的連續函數f(x)不一定存在最大值與最小值。那么如何比較全面地解決開區間(a,b)內的連續函數f(x)的最值問題呢？

1 下面分以下三種情形進行討論：

1.1 對于有限開區間(a,b)內的連續函數f(x)，如果

那么，可以當成求閉區間[a,b]上的連續函數f(x)的最值。

同時，上述方法對于函數f(x)在區間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞),(-∞,+∞)連續的最值問題可以按照下面的方式解決。

最后，應當注意確定有沒有最大值與最小值時，只有當所取最值點是在區間(a,b)或(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,+∞)內的駐點處、不可導點處，以及在區間的端點(半開半閉)處時才存在。也就是說如果某最值點取在所設的極限值所對應的點(虛擬點)處時，該最值是不存在的。

例1求函數y=f(x)=sinx-xcosx在區間(0,4π)內的最值。

解y′=cosx-cosx+xsinx=xsinx

求出駐點x=π,2π,3π

又f(x)=π,f(2π)=-2π,f(3π)=3π

所以該函數只有最小值-2π，沒有最大值。

例2求函數y=x2e-x在[0，+∞]內最值。

解y′=2xe-x-x2e-x，求出駐點x=0,x=2

注意本函數只有一個最小值點x=0。

例3求函數f(x)=xe-x2的最值。

解該函數的定義域為(-∞,+∞)

1.2 對于有限開區間(a,b)內的連續函數f(x),如果兩個極限中至少有一個為不存在，且該不存在為+∞或-∞

(1)當某極限為+∞時，則說明該函數一定不存在最大值；

(2)當某極限為-∞時，則說明該函數一定不存在最小值；

(3)當兩個不存在的極限分別為+∞和-∞時，則說明該函數既不存在最大值，也不存在最小值。

注意：(1)極限存在時的處理同第一種情形。

(2)上述方法對于函數f(x)在區間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)連續的最值問題可以按照第一種情形方式處理。

例4求函數y=x3-3x2-9x+2在(-2,+∞)內最值。

解y′=3x2-6x-9，求出駐點x=-1,x=3

所以，該函數在x=3處取得最小值-25，但該函數不存在最大值。

1.3 對于有限開區間(a,b)內的連續函數f(x)，如果兩個極限中至少有一個為不存在，且該不存在既不為+∞，也不為-∞。但存在無限趨近于它的兩個子列和使得兩個子列的極限一個為+∞，另一個為-∞。那么該函數一定既不存在最大值，也不存在最小值

注意：(1)此時，無需再考察端點與駐點、不可導點的情況。

(2)上述方法對于函數f(x)在區間[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)連續的最值問題可以按照第一種情形方式處理。

例5求函數f(x)=cosx+xsinx在[0，+∞)上的最值。

解取無限趨近于+∞兩個子列

所以，該函數不存在最值。

解取無限趨近于0+兩個子列

所以，該函數不存在最值。

2 總結

綜合上面的討論，連續函數的最值問題得到了比較全面的解決。