直觀想象：賦予兒童數(shù)學(xué)思考的力量

蔣太金

良好的數(shù)學(xué)教育不僅要傳授知識、培養(yǎng)技能，還要發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，提升學(xué)生的理性思維、審美智慧和創(chuàng)新精神，更要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題。數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價值的行為，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生命力之所在。

一、當(dāng)下兒童的數(shù)學(xué)思考存在缺位問題

數(shù)學(xué)思考，就是指在面臨各種現(xiàn)實(shí)的問題（包括非數(shù)學(xué)問題）情境時，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考，自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識、方法、思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、思想和方法去解決問題。

然而，在當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，兒童的數(shù)學(xué)思考存在一些缺位現(xiàn)象。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一些學(xué)生的表現(xiàn)消極、被動，缺少自主學(xué)習(xí)的興趣和意識，他們在遇到問題時想的不是去探究、去發(fā)現(xiàn)，而是“游離”在一邊，不去思考或假裝思考；在數(shù)學(xué)交流中，很多學(xué)生的思考往往停留在淺表層面，主要是由于學(xué)習(xí)體驗(yàn)不到位，缺少實(shí)踐反思，缺乏對問題本質(zhì)的深層分析；在數(shù)學(xué)探究中，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和思維方式單調(diào)而低效，在遇到問題時，他們的思考或支離破碎、沒有頭緒，或天馬行空、漫無邊際，缺少方法的積累和思想的沉淀。

二、直觀想象對培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)思考具有重要價值

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。它不單是空間想象能力，也不單是數(shù)形結(jié)合思想，而是多種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和融合。直觀想象主要具有以下特征：其一是直觀性，直觀想象是聯(lián)結(jié)形象思維和抽象思維的紐帶，它既可以借助幾何直觀把現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)問題抽象成直觀模型，也可以運(yùn)用空間想象把復(fù)雜的圖形表征抽象成可視化的思維模型；其二是思辨性，直觀想象是一個思辨的過程，在這一過程中，需要調(diào)動多種感官，從不同的角度進(jìn)行分析和綜合，將物體的形狀、特征、變化等結(jié)合起來，將眼前的物象與心中的意象融為一體，進(jìn)行深層次加工；其三是創(chuàng)造性，直觀想象帶給兒童的不僅有分析問題和解決問題的思路和方法，還有其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。由上可知，直觀想象能開闊兒童的學(xué)習(xí)思路，豐富兒童的學(xué)習(xí)方式，提高兒童學(xué)習(xí)的自主性和創(chuàng)造性。

三、以直觀想象促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思考培養(yǎng)的教學(xué)策略

（一）溝通數(shù)形聯(lián)系，化抽象為形象，培養(yǎng)兒童數(shù)形轉(zhuǎn)化的意識

1.借形解數(shù)，喚醒操作經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)是抽象的，數(shù)學(xué)定義的理解、算法的形成、規(guī)律的探究等本身就是一個個抽象的思維過程。但兒童的抽象思維能力并未形成，教師應(yīng)充分借助直觀操作、直觀模擬等為他們提供思考的平臺和“試驗(yàn)場”，引導(dǎo)他們逐步從直觀模型過渡到數(shù)學(xué)理解。如教學(xué)蘇教版三上《兩位數(shù)除以一位數(shù)》一課，計(jì)算46÷2，相較于探索算法和理解算理，喚醒學(xué)生的操作經(jīng)驗(yàn)更有意義。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)物或圖形分一分、擺一擺，巧妙地化解算法的抽象，這種真實(shí)的操作體驗(yàn)有利于學(xué)生在頭腦中形成清晰的表象，從而實(shí)現(xiàn)對算理的透徹理解。然后從直觀操作引出豎式計(jì)算。最后將豎式計(jì)算與直觀操作進(jìn)行類比。這一“聯(lián)系操作支持理解，再由算法回溯操作”的過程，有助于學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)從動作思維到符號思維的過渡。

2.賦形以數(shù)，內(nèi)化意義建構(gòu)。

圖形的直觀性為抽象的數(shù)學(xué)理解帶來了很大的便捷，但有時也需要賦予“形”以“數(shù)”的意義，把直觀圖形抽象成具象的數(shù)字，從而使兒童理解圖形的本質(zhì)。如教蘇教版四上《周期規(guī)律》一課，教師出示這樣一道練習(xí)題：“下面每個圖中各有多少個紅色小正方形和多少個藍(lán)色小正方形？照這樣畫下去，第6 個圖中的紅色小正方形和藍(lán)色小正方形各有多少個？”如果學(xué)生只是通過繼續(xù)畫圖來尋求結(jié)果，那么他們的思考往往只能停留在表層。如果跳出這一“藩籬”，把隱含在圖形中的信息抽象成具體的數(shù)字（如圖1），然后先分析數(shù)字中的規(guī)律，再結(jié)合圖形來驗(yàn)證，反而更容易解決問題。

無論是借形解數(shù)還是賦形以數(shù)，都是為了在抽象與直觀之間架起一座橋梁，促進(jìn)學(xué)生生成一種數(shù)形轉(zhuǎn)化的思維方式，使他們在遇到一些實(shí)際問題時能夠靈活地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

（二）構(gòu)建直觀模型，化復(fù)雜為簡單，提升兒童分析推理的能力

1.搭建操作模型，讓分析游刃有余。

2.構(gòu)建圖像模型，讓思考落地生根。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征是其抽象性，抽象的數(shù)學(xué)知識本身也是兒童認(rèn)知和理解的難點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為抽象的數(shù)學(xué)知識建立起適切的圖像（圖形）模型，引導(dǎo)兒童借助圖像（圖形）的直觀性來學(xué)習(xí)和審視抽象的內(nèi)容，他們的思考便有了有力的支撐和清晰的視角，從而能有效地解決問題。如教學(xué)蘇教版五上《和與積的奇偶性》，探究之后，學(xué)生便能發(fā)現(xiàn)：和的奇偶性與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)系。看似完美的結(jié)局，實(shí)則未能真正凸顯規(guī)律的本質(zhì)。但如果教師此時及時追問：“為什么會這樣呢？”便會激起學(xué)生深層次的思考，進(jìn)而借助圖像（如圖2）分析得出：奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，把奇數(shù)兩個兩個地湊成一對（即一個偶數(shù)），必然還剩下一個奇數(shù)，所以和是奇數(shù)。直觀的圖像真實(shí)地還原了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特點(diǎn)和核心規(guī)律，清晰地再現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)智慧正在逐步形成。

（圖2）

3.創(chuàng)建思維模型，讓思維拾級而上。

從更開放的視角來看，教師在教學(xué)中還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)建思維模型，充分展現(xiàn)學(xué)生思維的全過程。如蘇教版五下“圓”單元有這樣一道習(xí)題：求圖（如圖3）中涂色部分的面積。不少學(xué)生在解答時感到困難。究其原因，學(xué)生的思維是零散的、片面的，他們分析問題時缺乏清晰的脈絡(luò)和系統(tǒng)的思考。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行分析（如圖4），讓每一步分析都清晰可見，數(shù)學(xué)推理也自然形成。環(huán)環(huán)相扣的思維模型既展現(xiàn)了解題方法，還原了推理過程，也拓寬了學(xué)生的思維空間，有助于學(xué)生反思意識和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

（圖3）

（圖4）

（三）創(chuàng)新探究模式，化無章為有法，發(fā)展兒童理性思考的品質(zhì)

1.建構(gòu)推理模式，讓思考更加靈活。

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。從推理的角度觀照數(shù)學(xué)教學(xué)，其活動過程就是數(shù)學(xué)推理的過程。數(shù)學(xué)直觀能為推理提供模型參照，空間想象能在兒童腦海中勾勒出形象的思維模型和推理路徑。教師在教學(xué)中融入推理，讓兒童的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃影l(fā)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)、想象和驗(yàn)證等活動過程，課堂也會因此增添幾分智慧和靈動。如蘇教版五下“解決問題的策略：轉(zhuǎn)化”單元有這樣一道練習(xí)題：有8 支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場淘汰制進(jìn)行。一共要進(jìn)行多少場比賽才能產(chǎn)生冠軍？學(xué)生不難想到，可以畫圖（如圖5）來分析：8 支球隊(duì)兩兩比賽要賽4 場，獲勝的4 支球隊(duì)再兩兩比賽要賽2 場，以此類推，一共要比賽4＋2＋1＝7（場）。其實(shí)，分析到這里，教學(xué)并沒有結(jié)束，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思和推理：產(chǎn)生冠軍，就是最后只剩下1 支球隊(duì)，也就是要淘汰7 支球隊(duì)，因?yàn)槊繄霰荣愄蕴? 支球隊(duì)，所以一共要比賽8－1＝7（場）。

（圖5）

2.重構(gòu)思維模式，讓思想更加自由。

美國心理學(xué)家卡羅爾·德韋克指出：人與人之間的差距，就在于思維模式的不同。教師在教學(xué)中要關(guān)注兒童的心理、態(tài)度和習(xí)慣，幫助他們樹立正確的學(xué)習(xí)觀，重建科學(xué)的成長型思維模式，不斷激發(fā)他們的成長意識和探索精神。如教學(xué)蘇教版五下《圓環(huán)的面積》一課，學(xué)生通過思考大都能發(fā)現(xiàn)圓環(huán)（如圖6）的面積計(jì)算方法，即外圓的面積－內(nèi)圓的面積＝圓環(huán)的面積，從而得出π×102－π×62＝64π（cm2）。與此同時，一位學(xué)生提出了與眾不同的觀點(diǎn)。

（圖6）

生：如果對著圓環(huán)剪一刀，我們想象一下，展開來就應(yīng)該是一個梯形（如圖7）。拼成梯形后，梯形的上底就是內(nèi)圓的周長，下底就是外圓的周長，高是4 米，這樣，梯形的面積為（12π＋20π）×4÷2＝64π（cm2），和剛才的計(jì)算結(jié)果是一樣的。

（圖7）

師：同學(xué)們覺得她說得有道理嗎？

大部分學(xué)生表示贊同，但也有少數(shù)學(xué)生不認(rèn)可。教師適時引導(dǎo)學(xué)生對上述方法展開討論……

筆者認(rèn)為，無論學(xué)生的發(fā)現(xiàn)是否成立，無論他們探究到了何種程度，只要他們認(rèn)真思考了，就會有自己的理解和感悟。這種獨(dú)特的視角、“另類”的表達(dá)直接激起的是學(xué)生的創(chuàng)新意識，不僅讓學(xué)生感受到了成功的喜悅，也成就了他們思維的精彩。

康德曾說：“如果沒有感性，則對象不會被給予；如果沒有知性，則對象不能被思考。沒有內(nèi)容的思想是空洞的，沒有概念的直觀是盲目的。”要引導(dǎo)兒童進(jìn)行直觀想象，教師就要給他們提供廣闊的平臺，讓每一個兒童自主地學(xué)習(xí)、積極地建構(gòu)、靈活地思考。如此，兒童的可能性被激發(fā)，學(xué)習(xí)意識持續(xù)生長，行為習(xí)慣持續(xù)生成，他們的數(shù)學(xué)思考也定會精彩綻放。