一種實時輪廓誤差估算方法的研究

盧 浩，管聲啟，肖 旭，雷 鳴

（西安工程大學 機電工程學院，陜西 西安 710048）

0 引言

在數控機床加工零件的過程中，由于伺服控制的動態響應滯后于參考命令，機床的每個軸都不可避免的存在跟蹤誤差[1]。累加起來的跟蹤誤差會隨著機床運動鏈傳遞到加工工件和刀尖上，從而引起機床的參考加工軌跡和實際加工軌跡之間的偏差。在數控機床的軌跡控制研究中，常用到的誤差指標有輪廓誤差和跟蹤誤差。如圖 1所示，Pr，Pa，Pc分別是加工過程中刀尖的參考位置點，實際位置點，以及參考軌跡上距離實際位置點Pa最近的點。跟蹤誤差指的是實際位置點到參考位置點的距離，如圖1中的 e1、e2。而輪廓誤差指的是實際位置點與參考軌跡之間的最近距離，如圖1中的ε1、ε2。

圖1 輪廓誤差和跟蹤誤差Fig.1 Contour error and tracking error

而在數控機床精度提高的相關研究里，通過實時補償輪廓誤差來提高數控機床加工零件的精度已經成為研究熱點[2-5]，這是由于零件輪廓誤差值的大小能夠直接決定其加工精度的高低[6-8]，因此往往比跟蹤誤差[9-11]更加受到人們的青睞，而如何準確的估算得到輪廓誤差值便成為了重中之重。

Erkorkmaz 和 Altintas[12]提出通過對單軸跟蹤誤差的在線補償來達到減小輪廓誤差，從而提高加工精度的方法，但是從圖1可看出，單軸跟蹤精度的提高，并不一定能夠帶來高的輪廓精度。如圖 1中Pa1點處的跟蹤誤差e1明顯小于Pa2點處的跟蹤誤差e2，但是Pa1點處的輪廓誤差ε1卻明顯大于Pa2點處的輪廓誤差ε2。楊吉祥[1]提出將如圖1中光滑的參考曲線處理成為若干條微小直線段的方法，這也在一定程度上降低了輪廓誤差的估算精度。

基于這種情況，采用一種將參考曲線近似成為一段規則的圓弧的方法，來估算輪廓誤差的值。

1 現有的輪廓誤差模型

由于所加工零件的不同，對數控機床加工路徑的要求也不盡相同，現有的數控機床加工路徑主要分為以下三種：線性路徑、圓形路徑、自由形式路徑。

1.1 線性路徑

如圖2所示，其顯示了當機床加工軌跡遵循線性軌跡時的輪廓誤差估算方法。根據圖中定義，Pr為線性軌跡上的參考位置點，Pa為刀具的實際位置點，Pc是在加工軌跡上，距離實際位置點Pa最近的點，e是跟蹤誤差，ex和ey是跟蹤誤差在X和Y軸上的分量，ε是輪廓誤差，θ是線性加工軌跡與X軸之間的夾角。

圖2 線性軌跡的輪廓誤差計算Fig.2 Contour error calculation for linear trajectories

在這種情況下，輪廓誤差的計算公式為：

上式中，（xr, yr）表示加工軌跡上參考位置點的坐標，（xa, ya）表示實際位置點的坐標。

1.2 圓形路徑

如圖3所示，圓形路徑加工軌跡的輪廓誤差計算公式為：

也可以表示為與跟蹤誤差e有關的形式：

圖3 圓形加工軌跡的輪廓誤差計算Fig.3 Calculation of contour error of circular machining path

1.3 自由形式路徑

線性路徑和圓形路徑由于加工軌跡是規則的形狀，所以其輪廓誤差值可以直接通過幾何運算得出。而自由形式路徑的加工軌跡并不規則，不能直接進行計算。值得一提的是，在實際的數控加工當中，會用到自由形式加工路徑的情況也遠遠多于其他兩種，所以對它的研究很有必要。

圖4 自由形式路徑的加工軌跡輪廓誤差計算Fig.4 Calculation of machining path contour error of free-form path

2 輪廓誤差的估算

針對于不規則的自由形式加工路徑，不同于楊吉祥[1]提出的將光滑的曲線近似為若干微小線段的方法，本文在估算輪廓誤差值時，在任意時刻都能將刀尖點近似為一段圓弧，在圓弧上進行輪廓誤差的估算。如圖5所示，是一段不規則的自由形式加工路徑，即期望軌跡，或者稱之為參考軌跡，參考點 P1,P2,…,Pn,Pn+1…是參考軌跡在任意時刻的位置點。Pa點是某時刻刀具的實際位置點。而輪廓誤差的具體計算如下：

圖5 圓弧近似法估算輪廓誤差圖Fig.5 Contour error estimation by arc approximation

2.1 搜索最近點

首先，對參考軌跡上的各參考點進行搜索，找到離實際位置點Pa最近的參考點，而搜索范圍可以根據實際情況來定，沒有必要將參考軌跡上的每個參考點都訪問一次。

通過這種方法可以找到在參考軌跡上距離實際位置點Pa最近的參考點，假設此參考點為Pn。得到Pn的坐標后，自然也可以得到Pn的上一個參考點Pn-1和Pn+1的坐標。將參考點 1Pn-，Pn， 1Pn+連接成為一段圓弧，進而形成一個完整的圓，圓心為Oo。

2.2 確定圓心坐標

（1）將參考點 1Pn-，Pn， 1Pn+連接成一個三角形，以 1Pn-與Pn的連線為x軸， 以與之垂直且經過 1Pn-的直線為 y軸，建立一個新的坐標系xoy。

（3）由于已知a ,b ,c的值，即可得到在新的坐標系xoy下三個參考點 1Pn-,Pn， 1Pn+的坐標。

（4）穿過三點連接成為一個圓，圓心為Oo，由于已知圓上三點的坐標，所以圓心在xoy坐標系上的坐標和半徑r可由圓的標準式求出。

其中，（a , b）為圓的圓心坐標，r為圓的半徑。

（5）在新坐標系xoy上面再加一個 z軸，計算出Pa點在xyz坐標系中的表示，假設Pa在新坐標系中的表示為（xa，ya，za）,則：

根據上式，可以計算出圓心Oo和實際坐標Pa在新坐標系xyz中的坐標,進而計算出Oo到Pa的距離L。

2.3 輪廓誤差的估算

（1）由于在三維空間坐標中，實際位置點 Pa與參考點所形成的圓Oo不在同一平面，所以將Pa點投影到圓平面上來，Pa'為投影點。圓平面的單位法向量n可由下式求得：

（2）則實際位置點Pa在圓平面Oo上的投影點Pa′坐標為：

（3）得到Pa′坐標后，可由此計算得出h的值，則刀尖輪廓誤差是：

上式中，r為圓Oo的半徑，L為圓心Oo到實際位置點Pa的距離，h為Pa到投影點Pa′的距離。

3 仿真

為了驗證該估算方法的可行性，在Matlab自帶的可視化仿真工具Simulink下對該算法進行建模并仿真，搭建的Simulink仿真系統[13-15]可對數控機床加工過程中所產生的輪廓誤差運用此算法進行實時估算和實時補償。該仿真系統的數控機床仿真部分采用PID控制器[16-17]，位置環采用P控制，速度環和加速度環采用PI控制。此次仿真所選刀具路徑為如圖6所示，包括指令輪廓和實際輪廓，從圖上可以看出未經補償的期望軌跡和實際軌跡之間的誤差較大，從放大后的圖7中可以更直觀的看出，輪廓誤差大致在10–1mm數量級。而經過補償之后的期望軌跡和實際軌跡如圖8所示，可以看出期望軌跡和實際軌跡的重合度大大增加，放大其中一段后如圖9所示，輪廓誤差的數量級能達到10–6mm，零件的加工精度得到大大提高。

圖6 實際與參考軌跡Fig.6 Actual and reference trajectories

圖7 軌跡放大圖Fig.7 The enlarged image

圖8 補償后的實際與參考軌跡Fig.8 Actual and reference trajectories after compensation

圖9 補償后的軌跡放大圖Fig.9 Enlarged view of the trajectory after compensation

4 結論

通過對國內外數控機床輪廓誤差估算方法的研究，總結了現有的估算方法的優缺點，采用了一種可以將任意時刻刀具路徑近似為一段規則的圓弧，并且在圓弧上對輪廓誤差進行估算的方法。算法的計算過程簡單，能夠滿足實時補償要求，而且估算精度高，能夠有效的提高數控機床加工零件的精度。