滲透數(shù)形結(jié)合思想 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

崔旭

在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常產(chǎn)生這樣的困惑：題目也沒(méi)有少講一道，但學(xué)生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會(huì)不知所措。學(xué)生很難形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，就更談不上創(chuàng)新能力了。其實(shí)，細(xì)細(xì)想來(lái)，在平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常把教學(xué)的著眼點(diǎn)放在了解決難題上，而忽視了隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的靈魂和精髓——數(shù)學(xué)思想方法。

在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，乃至對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀课矣幸韵聨c(diǎn)想法。

一、直觀形象感受數(shù)形結(jié)合思想，激活顯化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例１】最近聽(tīng)了一位教師的“倍數(shù)和因數(shù)”一課。在設(shè)計(jì)探尋１２的因數(shù)時(shí)讓人眼前一亮：他首先幫助學(xué)生建立模型，引導(dǎo)學(xué)生想“（）×（）＝１２”，在學(xué)生找到３、４、２、６、１、１２這幾個(gè)因數(shù)后，他并沒(méi)有直接告訴學(xué)生怎樣做到不遺漏、不重復(fù)地寫(xiě)出這些因數(shù)，而是出示了一根數(shù)軸，如圖１。

■

圖１

在數(shù)軸中依次成對(duì)出現(xiàn)１、１２；２、６；３、４（每一對(duì)均用不同顏色圓點(diǎn)標(biāo)出），學(xué)生便能直觀感受到因數(shù)的特點(diǎn)，一對(duì)對(duì)出現(xiàn)，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對(duì)數(shù)會(huì)越來(lái)越接近。就在此時(shí)，教師點(diǎn)撥，以后在寫(xiě)因數(shù)時(shí)，不必畫(huà)數(shù)軸，可以在心里想。隨即讓學(xué)生去嘗試著有序地直接列出１２的因數(shù)（１，２，３，４，６，１２）。學(xué)生有了這樣的直觀感受，一下子就找準(zhǔn)找全了所有的因數(shù)。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設(shè)計(jì)的這一環(huán)節(jié)，通過(guò)數(shù)軸將因數(shù)的特點(diǎn)形象地表現(xiàn)了出來(lái)，幫助學(xué)生積累了找因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。這樣使虛化的經(jīng)驗(yàn)看得見(jiàn)、摸得著，實(shí)在別出心裁。數(shù)軸的使用，使得找一個(gè)數(shù)的因數(shù)從機(jī)械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導(dǎo)學(xué)生在做“（）×（）＝１２”時(shí)要進(jìn)行有序的列舉，但學(xué)生在練習(xí)中卻很難做到不遺漏、不重復(fù)，但有了數(shù)軸，學(xué)生卻能體會(huì)到１２的因數(shù)肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗(yàn)到逐步逼近的數(shù)學(xué)思想，這樣學(xué)生領(lǐng)悟得更加深刻。

二、經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，積累豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

１．經(jīng)歷以“形”助“數(shù)”，直觀形象體驗(yàn)

【案例２】六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現(xiàn)在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學(xué)生都感覺(jué)十分輕松。

隨即變化題目：如果要計(jì)算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學(xué)生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學(xué)生充分獨(dú)立思考的時(shí)間后追問(wèn)：“仔細(xì)觀察這題中分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，還有其他轉(zhuǎn)化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒(méi)有一個(gè)學(xué)生會(huì)想到畫(huà)圖。很多教師在這時(shí)都采用了直接呈現(xiàn)圖讓學(xué)生觀察得知答案的教學(xué)方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學(xué)生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請(qǐng)?jiān)趫D中表示出種在哪兒？現(xiàn)在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現(xiàn)在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

■

圖２

再根據(jù)圖像引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問(wèn)：“如果繼續(xù)再加■、■，會(huì)是多少呢？”

學(xué)生有了前面的經(jīng)驗(yàn)，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫(huà)出，很快便能得出相應(yīng)的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對(duì)于高年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，再簡(jiǎn)單不過(guò)了，關(guān)鍵是如何老題新解？學(xué)生借助自己已有的解題經(jīng)驗(yàn)，想出了拆分、找規(guī)律等轉(zhuǎn)化方法，卻怎么也想不到畫(huà)圖。假如教師簡(jiǎn)單呈現(xiàn)圖像，直接告知學(xué)生，那么學(xué)生就無(wú)法享受到畫(huà)圖思考的樂(lè)趣了，“數(shù)形結(jié)合”思想也就蕩然無(wú)存。而這位教師獨(dú)特的方式讓學(xué)生深切感受到了畫(huà)圖的魅力，體會(huì)到了精巧、簡(jiǎn)潔的解題之路。同時(shí)教師并沒(méi)有停留于讓學(xué)生觀察和思考，又安排學(xué)生自己獨(dú)立畫(huà)一畫(huà)、想一想，為后面一系列類(lèi)似題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，避免了學(xué)生的思維定式。

２．經(jīng)歷以“數(shù)”輔“形”，嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)體驗(yàn)

【案例３】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多是根據(jù)圖形的呈現(xiàn)來(lái)解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但有時(shí)利用“數(shù)”來(lái)指導(dǎo)“形”，可以使圖形的教學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)、更科學(xué)，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)會(huì)更加全面。

例如在教學(xué)完線段和三角形認(rèn)識(shí)后，學(xué)生的作業(yè)練習(xí)中出現(xiàn)了數(shù)線段的練習(xí)題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現(xiàn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都是采用直接數(shù)的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數(shù)很難直接并正確地?cái)?shù)出來(lái)。經(jīng)過(guò)學(xué)生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地?cái)?shù)的方法：（１）從左邊的第一個(gè)點(diǎn)出發(fā)有５條線段，從第二個(gè)點(diǎn)出發(fā)有４條線段……以此類(lèi)推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類(lèi)推。

我的思考：學(xué)生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數(shù)線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見(jiàn)，經(jīng)常在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，就會(huì)在學(xué)生的頭腦中播下“數(shù)”與“形”密切聯(lián)系的種子，學(xué)生也就會(huì)逐漸體會(huì)到它的無(wú)窮魅力！

三、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例４】“倍數(shù)和因數(shù)”一課接近尾聲時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系嗎？

■

圖４

學(xué)生仔細(xì)看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數(shù)，１８是２和９的倍數(shù)；９是房間總長(zhǎng)度的因數(shù)，房間總長(zhǎng)度是９的倍數(shù)；２是房間總寬度的因數(shù)，房間總寬度是２的倍數(shù)……

我的思考：簡(jiǎn)單的一道生活中的拓展題，充分讓學(xué)生感悟了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，促使學(xué)生領(lǐng)悟其精髓，正所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”。在學(xué)生充分積累倍數(shù)和因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)后及時(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的反芻和運(yùn)用將再次強(qiáng)化、提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)做個(gè)有心人，充分利用“一圖抵百語(yǔ)”的“數(shù)形結(jié)合”優(yōu)勢(shì)，以“形”的直觀表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”的精確研究形，將抽象變具體，把無(wú)形變有形，這不僅有利于學(xué)生順利、高效地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的積累！

（責(zé)編金鈴）

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在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常產(chǎn)生這樣的困惑：題目也沒(méi)有少講一道，但學(xué)生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會(huì)不知所措。學(xué)生很難形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，就更談不上創(chuàng)新能力了。其實(shí)，細(xì)細(xì)想來(lái)，在平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常把教學(xué)的著眼點(diǎn)放在了解決難題上，而忽視了隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的靈魂和精髓——數(shù)學(xué)思想方法。

在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，乃至對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀课矣幸韵聨c(diǎn)想法。

一、直觀形象感受數(shù)形結(jié)合思想，激活顯化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例１】最近聽(tīng)了一位教師的“倍數(shù)和因數(shù)”一課。在設(shè)計(jì)探尋１２的因數(shù)時(shí)讓人眼前一亮：他首先幫助學(xué)生建立模型，引導(dǎo)學(xué)生想“（）×（）＝１２”，在學(xué)生找到３、４、２、６、１、１２這幾個(gè)因數(shù)后，他并沒(méi)有直接告訴學(xué)生怎樣做到不遺漏、不重復(fù)地寫(xiě)出這些因數(shù)，而是出示了一根數(shù)軸，如圖１。

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圖１

在數(shù)軸中依次成對(duì)出現(xiàn)１、１２；２、６；３、４（每一對(duì)均用不同顏色圓點(diǎn)標(biāo)出），學(xué)生便能直觀感受到因數(shù)的特點(diǎn)，一對(duì)對(duì)出現(xiàn)，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對(duì)數(shù)會(huì)越來(lái)越接近。就在此時(shí)，教師點(diǎn)撥，以后在寫(xiě)因數(shù)時(shí)，不必畫(huà)數(shù)軸，可以在心里想。隨即讓學(xué)生去嘗試著有序地直接列出１２的因數(shù)（１，２，３，４，６，１２）。學(xué)生有了這樣的直觀感受，一下子就找準(zhǔn)找全了所有的因數(shù)。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設(shè)計(jì)的這一環(huán)節(jié)，通過(guò)數(shù)軸將因數(shù)的特點(diǎn)形象地表現(xiàn)了出來(lái)，幫助學(xué)生積累了找因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。這樣使虛化的經(jīng)驗(yàn)看得見(jiàn)、摸得著，實(shí)在別出心裁。數(shù)軸的使用，使得找一個(gè)數(shù)的因數(shù)從機(jī)械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導(dǎo)學(xué)生在做“（）×（）＝１２”時(shí)要進(jìn)行有序的列舉，但學(xué)生在練習(xí)中卻很難做到不遺漏、不重復(fù)，但有了數(shù)軸，學(xué)生卻能體會(huì)到１２的因數(shù)肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗(yàn)到逐步逼近的數(shù)學(xué)思想，這樣學(xué)生領(lǐng)悟得更加深刻。

二、經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，積累豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

１．經(jīng)歷以“形”助“數(shù)”，直觀形象體驗(yàn)

【案例２】六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現(xiàn)在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學(xué)生都感覺(jué)十分輕松。

隨即變化題目：如果要計(jì)算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學(xué)生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學(xué)生充分獨(dú)立思考的時(shí)間后追問(wèn)：“仔細(xì)觀察這題中分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，還有其他轉(zhuǎn)化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒(méi)有一個(gè)學(xué)生會(huì)想到畫(huà)圖。很多教師在這時(shí)都采用了直接呈現(xiàn)圖讓學(xué)生觀察得知答案的教學(xué)方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學(xué)生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請(qǐng)?jiān)趫D中表示出種在哪兒？現(xiàn)在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現(xiàn)在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

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圖２

再根據(jù)圖像引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問(wèn)：“如果繼續(xù)再加■、■，會(huì)是多少呢？”

學(xué)生有了前面的經(jīng)驗(yàn)，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫(huà)出，很快便能得出相應(yīng)的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對(duì)于高年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，再簡(jiǎn)單不過(guò)了，關(guān)鍵是如何老題新解？學(xué)生借助自己已有的解題經(jīng)驗(yàn)，想出了拆分、找規(guī)律等轉(zhuǎn)化方法，卻怎么也想不到畫(huà)圖。假如教師簡(jiǎn)單呈現(xiàn)圖像，直接告知學(xué)生，那么學(xué)生就無(wú)法享受到畫(huà)圖思考的樂(lè)趣了，“數(shù)形結(jié)合”思想也就蕩然無(wú)存。而這位教師獨(dú)特的方式讓學(xué)生深切感受到了畫(huà)圖的魅力，體會(huì)到了精巧、簡(jiǎn)潔的解題之路。同時(shí)教師并沒(méi)有停留于讓學(xué)生觀察和思考，又安排學(xué)生自己獨(dú)立畫(huà)一畫(huà)、想一想，為后面一系列類(lèi)似題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，避免了學(xué)生的思維定式。

２．經(jīng)歷以“數(shù)”輔“形”，嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)體驗(yàn)

【案例３】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多是根據(jù)圖形的呈現(xiàn)來(lái)解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但有時(shí)利用“數(shù)”來(lái)指導(dǎo)“形”，可以使圖形的教學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)、更科學(xué)，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)會(huì)更加全面。

例如在教學(xué)完線段和三角形認(rèn)識(shí)后，學(xué)生的作業(yè)練習(xí)中出現(xiàn)了數(shù)線段的練習(xí)題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現(xiàn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都是采用直接數(shù)的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數(shù)很難直接并正確地?cái)?shù)出來(lái)。經(jīng)過(guò)學(xué)生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地?cái)?shù)的方法：（１）從左邊的第一個(gè)點(diǎn)出發(fā)有５條線段，從第二個(gè)點(diǎn)出發(fā)有４條線段……以此類(lèi)推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類(lèi)推。

我的思考：學(xué)生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數(shù)線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見(jiàn)，經(jīng)常在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，就會(huì)在學(xué)生的頭腦中播下“數(shù)”與“形”密切聯(lián)系的種子，學(xué)生也就會(huì)逐漸體會(huì)到它的無(wú)窮魅力！

三、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例４】“倍數(shù)和因數(shù)”一課接近尾聲時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系嗎？

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圖４

學(xué)生仔細(xì)看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數(shù)，１８是２和９的倍數(shù)；９是房間總長(zhǎng)度的因數(shù)，房間總長(zhǎng)度是９的倍數(shù)；２是房間總寬度的因數(shù)，房間總寬度是２的倍數(shù)……

我的思考：簡(jiǎn)單的一道生活中的拓展題，充分讓學(xué)生感悟了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，促使學(xué)生領(lǐng)悟其精髓，正所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”。在學(xué)生充分積累倍數(shù)和因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)后及時(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的反芻和運(yùn)用將再次強(qiáng)化、提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)做個(gè)有心人，充分利用“一圖抵百語(yǔ)”的“數(shù)形結(jié)合”優(yōu)勢(shì)，以“形”的直觀表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”的精確研究形，將抽象變具體，把無(wú)形變有形，這不僅有利于學(xué)生順利、高效地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的積累！

（責(zé)編金鈴）

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在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常產(chǎn)生這樣的困惑：題目也沒(méi)有少講一道，但學(xué)生總是停留在模仿解題的水平上，只要題目稍微有些變化，就會(huì)不知所措。學(xué)生很難形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，就更談不上創(chuàng)新能力了。其實(shí)，細(xì)細(xì)想來(lái)，在平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常把教學(xué)的著眼點(diǎn)放在了解決難題上，而忽視了隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的靈魂和精髓——數(shù)學(xué)思想方法。

在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的后續(xù)學(xué)習(xí)，乃至對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展都具有十分重要的意義。作為一線教師，該如何滲透好數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀课矣幸韵聨c(diǎn)想法。

一、直觀形象感受數(shù)形結(jié)合思想，激活顯化數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例１】最近聽(tīng)了一位教師的“倍數(shù)和因數(shù)”一課。在設(shè)計(jì)探尋１２的因數(shù)時(shí)讓人眼前一亮：他首先幫助學(xué)生建立模型，引導(dǎo)學(xué)生想“（）×（）＝１２”，在學(xué)生找到３、４、２、６、１、１２這幾個(gè)因數(shù)后，他并沒(méi)有直接告訴學(xué)生怎樣做到不遺漏、不重復(fù)地寫(xiě)出這些因數(shù)，而是出示了一根數(shù)軸，如圖１。

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圖１

在數(shù)軸中依次成對(duì)出現(xiàn)１、１２；２、６；３、４（每一對(duì)均用不同顏色圓點(diǎn)標(biāo)出），學(xué)生便能直觀感受到因數(shù)的特點(diǎn)，一對(duì)對(duì)出現(xiàn)，一頭一尾去思考、去尋找，而且每一對(duì)數(shù)會(huì)越來(lái)越接近。就在此時(shí)，教師點(diǎn)撥，以后在寫(xiě)因數(shù)時(shí)，不必畫(huà)數(shù)軸，可以在心里想。隨即讓學(xué)生去嘗試著有序地直接列出１２的因數(shù)（１，２，３，４，６，１２）。學(xué)生有了這樣的直觀感受，一下子就找準(zhǔn)找全了所有的因數(shù)。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)如行云流水般，讓人拍案叫絕！

我的思考：教師精心設(shè)計(jì)的這一環(huán)節(jié)，通過(guò)數(shù)軸將因數(shù)的特點(diǎn)形象地表現(xiàn)了出來(lái)，幫助學(xué)生積累了找因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。這樣使虛化的經(jīng)驗(yàn)看得見(jiàn)、摸得著，實(shí)在別出心裁。數(shù)軸的使用，使得找一個(gè)數(shù)的因數(shù)從機(jī)械的模仿變成形象化的理解。以往我們常常引導(dǎo)學(xué)生在做“（）×（）＝１２”時(shí)要進(jìn)行有序的列舉，但學(xué)生在練習(xí)中卻很難做到不遺漏、不重復(fù)，但有了數(shù)軸，學(xué)生卻能體會(huì)到１２的因數(shù)肯定在１~１２之間，從而有了一定的范圍，然后體驗(yàn)到逐步逼近的數(shù)學(xué)思想，這樣學(xué)生領(lǐng)悟得更加深刻。

二、經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，積累豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

１．經(jīng)歷以“形”助“數(shù)”，直觀形象體驗(yàn)

【案例２】六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”中有這樣一道題目“■＋■＋■＋■”，常常出現(xiàn)在課堂中的處理是——用通分的方法快速口算完成，至此學(xué)生都感覺(jué)十分輕松。

隨即變化題目：如果要計(jì)算■＋■＋■＋■＋…+■，你還愿意用剛才通分的方法嗎？學(xué)生紛紛表示再通分就太繁瑣了。

教師給足學(xué)生充分獨(dú)立思考的時(shí)間后追問(wèn)：“仔細(xì)觀察這題中分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，還有其他轉(zhuǎn)化方法嗎？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上沒(méi)有一個(gè)學(xué)生會(huì)想到畫(huà)圖。很多教師在這時(shí)都采用了直接呈現(xiàn)圖讓學(xué)生觀察得知答案的教學(xué)方法。而有位教師很特別，他做了如下處理。

首先是引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，然后逐步出示圖像（如圖２）幫助學(xué)生理解。例如一塊正方形地（也可看成一條線段），先把它的■種上菜，再種■，請(qǐng)?jiān)趫D中表示出種在哪兒？現(xiàn)在有多少地方種上菜了？再種它的■、■。現(xiàn)在一共有多少地方種上菜了？（■）你怎么知道的？

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圖２

再根據(jù)圖像引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)添上■就是整體“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

師接著問(wèn)：“如果繼續(xù)再加■、■，會(huì)是多少呢？”

學(xué)生有了前面的經(jīng)驗(yàn)，很快在腦海中勾勒出圖像，并在本子上畫(huà)出，很快便能得出相應(yīng)的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”這樣的題目對(duì)于高年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，再簡(jiǎn)單不過(guò)了，關(guān)鍵是如何老題新解？學(xué)生借助自己已有的解題經(jīng)驗(yàn)，想出了拆分、找規(guī)律等轉(zhuǎn)化方法，卻怎么也想不到畫(huà)圖。假如教師簡(jiǎn)單呈現(xiàn)圖像，直接告知學(xué)生，那么學(xué)生就無(wú)法享受到畫(huà)圖思考的樂(lè)趣了，“數(shù)形結(jié)合”思想也就蕩然無(wú)存。而這位教師獨(dú)特的方式讓學(xué)生深切感受到了畫(huà)圖的魅力，體會(huì)到了精巧、簡(jiǎn)潔的解題之路。同時(shí)教師并沒(méi)有停留于讓學(xué)生觀察和思考，又安排學(xué)生自己獨(dú)立畫(huà)一畫(huà)、想一想，為后面一系列類(lèi)似題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，避免了學(xué)生的思維定式。

２．經(jīng)歷以“數(shù)”輔“形”，嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)體驗(yàn)

【案例３】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多是根據(jù)圖形的呈現(xiàn)來(lái)解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但有時(shí)利用“數(shù)”來(lái)指導(dǎo)“形”，可以使圖形的教學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)、更科學(xué)，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)會(huì)更加全面。

例如在教學(xué)完線段和三角形認(rèn)識(shí)后，學(xué)生的作業(yè)練習(xí)中出現(xiàn)了數(shù)線段的練習(xí)題。

圖３－１ ■

圖３－２ ■

圖３－１出現(xiàn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都是采用直接數(shù)的方法，很快得到答案有３條線段，但圖３－２的線段條數(shù)很難直接并正確地?cái)?shù)出來(lái)。經(jīng)過(guò)學(xué)生討論嘗試后，得出了以下兩種有序地?cái)?shù)的方法：（１）從左邊的第一個(gè)點(diǎn)出發(fā)有５條線段，從第二個(gè)點(diǎn)出發(fā)有４條線段……以此類(lèi)推。（２）有一條基本線段組成的線段有５條，有兩條基本線段組成的線段有４條……以此類(lèi)推。

我的思考：學(xué)生討論得出的想法真讓人感到驚嘆！他們的方法克服了數(shù)線段的繁瑣性，提高了解題的正確率。可見(jiàn)，經(jīng)常在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，就會(huì)在學(xué)生的頭腦中播下“數(shù)”與“形”密切聯(lián)系的種子，學(xué)生也就會(huì)逐漸體會(huì)到它的無(wú)窮魅力！

三、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【案例４】“倍數(shù)和因數(shù)”一課接近尾聲時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一道拓展題：圖４中（家用地板中的一部分）有倍數(shù)、因數(shù)關(guān)系嗎？

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圖４

學(xué)生仔細(xì)看圖后，得出各種不同的答案：２和９是１８的因數(shù)，１８是２和９的倍數(shù)；９是房間總長(zhǎng)度的因數(shù)，房間總長(zhǎng)度是９的倍數(shù)；２是房間總寬度的因數(shù)，房間總寬度是２的倍數(shù)……

我的思考：簡(jiǎn)單的一道生活中的拓展題，充分讓學(xué)生感悟了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，促使學(xué)生領(lǐng)悟其精髓，正所謂“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”。在學(xué)生充分積累倍數(shù)和因數(shù)的經(jīng)驗(yàn)后及時(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的反芻和運(yùn)用將再次強(qiáng)化、提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)做個(gè)有心人，充分利用“一圖抵百語(yǔ)”的“數(shù)形結(jié)合”優(yōu)勢(shì)，以“形”的直觀表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”的精確研究形，將抽象變具體，把無(wú)形變有形，這不僅有利于學(xué)生順利、高效地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的積累！

（責(zé)編金鈴）

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