改進粒子群算法的軌道列車節(jié)能控制優(yōu)化

黃江平，程紹榕

（華東交通大學電氣與自動化工程學院，江西 南昌330013）

目前列車站間運行主要由4 種狀態(tài)組成：牽引、惰行、巡航和制動；因此，列車運行的節(jié)能優(yōu)化問題，也通常被視為工況轉換點的求解問題，盡可能在運行規(guī)定時間內減少牽引工況的能耗，逐漸成為軌道交通領域的主要研究方向。文獻[1]利用懲罰函數(shù)的方法提出了無約束的節(jié)能駕駛模型，但是算法收斂時間較長，優(yōu)化效果不是很明顯。 文獻[2]在懲罰函數(shù)的基礎上，利用粒子群算法代替遺傳算法進行優(yōu)化，調試參數(shù)少，收斂速度有了明顯的提升，但是由于粒子群算法本身容易陷入局部最優(yōu)，優(yōu)化效果提升的不明顯。文獻[3]在列車運動方程的基礎上，建立了列車牽引能耗的數(shù)學模型，構建了列車工況和總效率之間的徑向基神經網絡。文獻[4]根據(jù)列車的運動情況和牽引特性曲線，采用遺傳算法優(yōu)化列車動車運行的惰行控制點來達到降低能耗的目的。 列車運行作為一個非線性，多拘束問題，智能優(yōu)化算法在處理此類問題上具有明顯優(yōu)勢。 目前應用主要的智能優(yōu)化算法有粒子群算法和遺傳算法兩大類，而文獻[2]采用標準粒子群算法求取列車工況轉換點，可能導致尋優(yōu)陷入局部最優(yōu)解和收斂速度慢的問題。

為解決上述問題，采用自適應慣性權重，動態(tài)學習因子，同時優(yōu)化速度更新公式的方法來求解列車工況轉換點，通過改變慣性權重，平衡不同階段的搜索能力，同時加入可以自調整的學習因子，加強后期的運算效率和搜索能力，速度更新公式通過加入一項“參考項”，而“參考項”的參數(shù)由輪盤賭選擇，從而避免不理想的粒子影響尋優(yōu)結果，有利于跳出局部最優(yōu)解。

1 列車控制優(yōu)化問題的分析和建模

通常情況下，列車站間運行過程要按照規(guī)定的運行時刻表運行， 運行時間和距離是固定的，由4 種工況組成：牽引，巡航，惰行，制動[5]。 不同情況下，發(fā)動機的耗能情況如表1 所示。

由上可知，要使列車實現(xiàn)能耗最少的目標，盡可能的縮短牽引過程和巡航過程的能耗，但是存在規(guī)定時間，同時列車運行存在最高速度和最大加速度等限制，所以列車行駛的實際問題，轉換為初始狀態(tài)和終止狀態(tài)已知，在規(guī)定時間和速度限制范圍內，求取不同工況下最優(yōu)工況轉換點的問題。

表1 列車不同工況的能耗Tab.1 Energy consumption under different operation modes for trains

列車運行過程中，通過牛頓第二定律，得出運動學方程為

式中：v 為當前速度；a 為當前加速度；F（v）為當前時刻列車速度所對應的牽引力；B（v）為當前時刻列車速度所對應的制動力；W0（v）為基本阻力；G（x）為坡度；M 為列車的總質量。

列車牽引力和制動力之間存在以下關系：

式中：μf為牽引力系數(shù)；μb為制動力系數(shù)。

另外，當列車在站間運行時，若運行總路程為S，運行總時間為T。 則有

式中：v（0）為列車運行初速度；v（S）為列車運行末速度；t（0）為列車發(fā)車時刻；t（S）為列車到達終點時刻。而列車在運行過程中，同時還要考慮乘客的舒適度和工況轉換方面的拘束問題，故有

式中：alimit表示乘客可以接受的最大加（減）速度。

同時列車4 種工況間滿足一定的轉換規(guī)則，如表2 所示。

“Y”表示可以直接轉換，“N”表示禁止轉換。

由于惰行階段和制動階段發(fā)動機是不耗能的[6]，所以主要在運行過程中對牽引階段和巡航階段的發(fā)動機能耗進行分析。 同時，站間運行按照“牽引-巡航-惰行-制動”的策略進行運行[7]。由于牽引力F 和速度v 的關系是根據(jù)列車特性曲線得出，并不可導，在這里，采用離散化的思想，將列車運行區(qū)間等距劃分為n（n=10）個區(qū)間，對動力學模型進行差分計算，取時間步長Δt=1，設定4 種不同工況下每個時間步長Δt 對應的加速度分別為ai，ai′，ai″，ai?。 為了計算方便，采用延遲的思想，每一個時間步長Δt 內加速度恒定，且在4 種不同工況的情況下，第i 個時間步長對應的速度分別為vi，vi′，vi″，vi?，對應合力分別為c1，c2，c3，c4；對應的位移分別為si，si′，si″，si?。

根據(jù)牛頓第二定律，列車在牽引過程中單位時間步長對應的加速度ai計算公式如下：

表2 工況轉換拘束Tab.2 Constraints of operation mode transition

式中：f（v）為某一運行速度下列車的牽引力；f0（v）為單位基本阻力；fw為因線路產生的附加阻力之和。

牽引過程中，速度與距離存在以下關系：

當列車牽引到目標速度時，進入巡航模式，巡航模式下，速度恒定，加速度為0，在巡航過程中單位時間

步長對應的加速度ai′計算公式如下：

巡航過程中，速度距離關系為

惰行工況下，無牽引力產生，單位時間步長對應的加速度ai″計算公式如下：

惰行過程中，速度距離關系為

惰行到某一時刻時，列車進入制動狀態(tài)，發(fā)動機仍然不做功，列車在受到阻力的基礎上增加了制動力，其單位時間步長對應的加速度ai?如下：

其中，fb表示列車的制動力。 此時列車速度與距離的關系為

根據(jù)上述關系式，我們可以確定列車4 種工況下，速度、時間、運行距離的關系。區(qū)間總路程為S，區(qū)間運行總時間為T，牽引、巡航、惰行、制動各自對應的運行距離為s1，s2，s3，s4。4 種工況對應運行時間為t1，t2，t3，t4，在拘束條件內，存在：

固定站間運行總時間不變，由于發(fā)動機在惰行過程和制動過程中不做功，只需要計算牽引與巡航過程所做的功，尋找牽引與巡航能耗最小的工況轉換點。 又因為牽引力做功公式為

得到在第i 個時間步長內Δt 所對應的牽引力f（vi）所做的功ΔEi為

將列車運行過程中每一個時間步長的牽引能耗進行累加，得到發(fā)動機能耗公式如下：

由此可確定列車運行能耗運行模型為

2 改進粒子群算法

2.1 粒子群算法概述

粒子群算法依靠不同粒子的相互作用尋找相關問題在整個尋優(yōu)空間中的優(yōu)位置，即問題的優(yōu)解。 在粒子群算法中，每個待解決的優(yōu)化問題可能解都被視為搜索空間中存在的一個粒子。 粒子群中的所有粒子都被賦予一個由被優(yōu)化的函數(shù)確定的適應度值(fitness value)，每個粒子具有2 個屬性，即速度與位置。 在算法運行過程中，所有粒子趨向當前時刻的最優(yōu)粒子的位置，并試圖在可能空間中搜索全局優(yōu)解。

假設在一個N 維空間進行搜索，粒子i 的信息可用2 個N 維向量來表示：第i 個粒子的位置可表示為xi=（xi1，xi2，…，xin）T，速度為vi=（vi1，vi2，…，vin）T。在找到2 個最優(yōu)解后，粒子即可根據(jù)式（18）來更新自己的速度和位置：

式中：c1，c2為學習因子， 合適的c1，c2既可以加快收斂速度， 又可以使結果不易陷入局部最優(yōu)；r1，r2是介于［0，1］之間的隨機數(shù)；k 為迭代次數(shù)；ω 稱之為慣性權重，它是一個比例因子，較大的ω 可以加強PSO 的全局搜索能力，而較小的ω 則可以加強局部搜索能力，也就是說ω 執(zhí)行了全局搜索和局部搜索的平衡角色。

2.2 自適應慣性權重

在標準的粒子群算法中，使用最多的是線性慣性權重的方法，其特性為初期慣性權重大，有利于進行全局搜索，后期慣性權重小，有利于局部尋優(yōu)。 它的關系式如下：

式中：k 為當前迭代次數(shù)；ωmax為最大慣性權重；ωmin為最小慣性權重；Tmax為最大迭代次數(shù)。

但是在非線性問題的處理上，PSO 算法尋優(yōu)過程十分復雜，同時存在非線性的情況，單純依靠線性權重無法做到有效的調節(jié)，仍然難以避免陷入局部最優(yōu)的情況，由此，在文獻[8]的基礎上加以改進，設計了一種自適應慣性權重，其組合表達式如式（20）～（22）所示：

2.3 動態(tài)調整學習因子

學習因子c1，c2分別決定了粒子個體經驗和群體經驗對粒子運行軌跡的影響，通常情況下c1＝c2且為固定值，但是隨著深入研究發(fā)現(xiàn)，學習因子的取值也可以類似慣性權重發(fā)生動態(tài)變化，根據(jù)PSO 算法在迭代初期注重廣泛搜索,迭代后期注重快速收斂的特性。 在想要同時保證粒子多樣性和收斂性的情況下，采用動態(tài)調整學習因子，根據(jù)文獻[9]的分析，c1，c2同時調整效果優(yōu)于單項系數(shù)調整，在搜索的前階段，c1取較大值，c2取較小值，側重于pid，增加粒子的全局搜索能力，后期則相反，側重于gid，增強粒子的局部搜索能力，將加速系數(shù)表示為

式中：t 為當前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

2.4 速度公式的改進

通常的速度更新公式，每個粒子只通過自身最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置進行速度更新，如果粒子本身選擇位置不理想，則會影響到尋優(yōu)結果，根據(jù)社會學家Wilson 的理論，群體中的個體都能從其他個體的經驗中受益，其他粒子的最優(yōu)位置信息同樣可以起到幫助作用，在文獻[10]的基礎上，在原有速度公式上添加一項，而Pa是通過輪盤賭選出的所有粒子的歷史最優(yōu)位置，速度公式變更如下：

其中c3r3取c1r1和c2r2中較小值的0.3 倍，通過這種改動，降低了因為選取到位置不好的粒子而影響尋優(yōu)結果的概率。

3 算例仿真部分

3.1 適應度函數(shù)的確定

在列車節(jié)能控制問題中，存在多個拘束條件，這里采用簡單的懲罰函數(shù)機制，將多個拘束條件轉化為懲罰因子，從而將有拘束問題轉化為無拘束問題，根據(jù)提到的拘束條件，共有：末速度為0，最大加速度限制，運行時間限制，最大速度限制以及運行距離限制。 通過設置4 個懲罰因子α，β，γ，λ，將目標函數(shù)轉換為

由于目標函數(shù)需要盡可能的取小，所以適應度函數(shù)設置為目標函數(shù)的倒數(shù)：

3.2 算法流程

1） 初始化粒子的位置和速度，根據(jù)適應度函數(shù)計算各個粒子的適應度，同時獲得粒子的個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置。

2） 根據(jù)式（21）計算粒子與群體最優(yōu)粒子之間的距離，同時根據(jù)式（20）更新下次迭代各粒子的慣性權重。

3） 按照新的速度更新公式（24）與動態(tài)學習因子公式（23）更新粒子的學習因子，速度和位置，再次計算適應度值。

4） 若當前粒子的適應度值比歷史最優(yōu)值好則取代歷史最優(yōu)值。

5） 判斷是否滿足迭代終止條件，是則輸出結果，不是則返回第2 步。

3.3 仿真分析

針對標準粒子群算法和改進粒子群算法進行對比， 選取廣州地鐵8 號線中一部分區(qū)段進行仿真模擬。運行策略采用“牽引-巡航-惰行-制動”的方式。 列車參數(shù)和線路參數(shù)如表（3）～（5）所示。

其中站間距離為1 471 m，列車的區(qū)間限速為80 km/h，列車最大加速度不得超過0.8 m/s，按照“牽引-巡航-惰行-制動”的策略運行，粒子群規(guī)模取N=50，迭代次數(shù)為200 次，學習因子根據(jù)標準粒子群算法與改進粒子群算法的不同，標準粒子群算法取固定值c1=c2=2，改進型粒子群算法采用動態(tài)學習因子，同時設置ωmax=0.9，ωmin=0.4，標準粒子群算法采用線性慣性權重法，而改進的粒子群算法采用自適應慣性權重法，粒子最大速度不超過0.1，最小速度不小于-0.1，列車的牽引系數(shù)取0.95，制動系數(shù)取0.8，同時設置懲罰因子α＝1，β＝0.5，γ＝0.05，λ＝1。 多次運行后，分別得到位移能量對比圖，位移速度對比圖，適應度函數(shù)對比圖如圖（1）～（3）所示。

表3 軌道列車參數(shù)Tab.3 Parameters of rail transit trains

表4 列車牽引特性和制動特性Tab.4 Characteristics of traction and braking force of trains

表5 區(qū)段線路參數(shù)Tab.5 Parameters of rail transit section

圖1 改進前后粒子群算法的位移-能量對比圖Fig.1 Comparison of the S-E curves between ordinary PSO and improved PSO

圖2 改進前后粒子群算法的位移-速度對比圖Fig.2 Comparison of the S-V curves between ordinary PSO and improved PSO

結合圖2，表（6）（7）可以發(fā)現(xiàn)，相較于標準型粒子群算法，改進型粒子群算法在略微增加牽引功況的情況下，有效地延長了惰行工況的運行時間。 在到站時間固定不變的情況下，如圖1 所示，標準型粒子群算法優(yōu)化的發(fā)動機能耗數(shù)值穩(wěn)定在20.525 kW/h 左右， 而改進后的粒子群算法優(yōu)化結果穩(wěn)定在19.388 kW/h 左右，相比標準粒子群算法效果提升了5.54%左右，有效降低了能量損耗。 在適應度和收斂性方面，標準型粒子群算法在150 代左右達到收斂，而改進型粒子群算法在120 代左右收斂就達到最優(yōu)解，而適應度值也高于標準型粒子群算法，有效提升了運算的效率和精度。

表6 2 種算法4 種運行工況消耗時間 sTab.6 Consumption time of four operation conditions under two algorithms

表7 2 種算法4 種運行工況位移量 mTab.7 Displacement of four operating conditions under two algorithms

圖3 改進前后粒子群算法適應度函數(shù)對比圖Fig.3 Comparison of the fitness function between ordinary PSO and improved PSO

4 總結

針對列車運行節(jié)能控制優(yōu)化這種非線性、多拘束、大滯后的問題，提出了自適應慣性權重與動態(tài)學習因子相結合，同時對傳統(tǒng)速度更新公式進行改進的方法，通過Matlab 多次實驗仿真，無論從優(yōu)化效果還是收斂速度方面，改進后的粒子群算法相比于標準粒子群算法有了一定的提升，降低了列車運行過程中的能耗，給列車節(jié)能優(yōu)化算法的設計提供參考。