對第一類換元積分法的研究與改進

陳 思 閆偉杰

（浙江同濟科技職業學院，浙江 杭州311231）

1 概述

第一類換元積分法（也稱湊微分法）是在高等數學學習過程中遇到的第一種積分方法，也是在積分計算題目中運用最廣泛的一種方法。其思路是通過引進中間變量作變量替換，使原式結構變得更加簡單，從而解決較為復雜的不定積分問題。常規的換元方法存在選取合適的中間變量難、湊微分時容易配錯常數等問題，尤其是對于數學基礎薄弱、微分公式運用不夠靈活的學生，在做題過程中特別容易出錯，從而產生畏難情緒。針對這個問題，本文提出了一種更為簡單且不容易出錯的換元方法，避開了湊微分時配常數的計算，降低了換元難度。

2 第一類換元積分的常規解法

第一類換元積分法是復合函數鏈式法則的逆推。若F（x）是f（x）的一個原函數：

其中被積函數是以f（φ（x））·φ'（x）出現的，但解決實際題目時，很少會直接給出這樣的結構，所以選取一個合適的中間變量u=φ（x），是解決題目的關鍵。

常規解題思路為：

（1）觀察：選取合適的中間變量u=φ（x）；

（2）求微分：φ'（x）dx=d（φ（x））；

（3）換元：將原式中的φ'（x）dx 換為d（φ（x）），或是原式中的c·φ'（x）dx 換為c·d（φ（x）），其中c 為常數；

（4）求積分：將簡化過的式子運用合適的積分公式，求出原函數。

下面以兩道例題來說明：

（1）觀察：選取u=1+x3；

（2）求微分：3x2dx=d（1+x3）；

（4）求積分：

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（4）求積分：

從上面兩道例題中，不難發現解題過程中存在兩個難點：

第一，換元時，若題目中包含c·φ'（x）dx，需要進行常數的計算。學生經常在此處漏算或錯算常數，考試中這常常是該類題目的主要失分點；

3 改進的換元方法——直接對被積變量進行換元求解

步驟如下：

（1）觀察：選取合適的中間變量u=φ（x）；

（3）求積分：將簡化過的式子運用合適的積分公式，求出原函數。

前面兩個例子用直接對被積變量進行換元求解如下：

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（2）計算微分公式并直接換元

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（3）求積分：

4 結論