廣義相對論的應用：黑洞的霍金輻射

羅中華

（西華師范大學，物理與空間科學學院，四川 南充637009）

兩位物理學家（S.玻爾穆特與B.史密特）遠在1998 年，曾提出宇宙正在以高速形態膨脹的觀點[1]，這種膨脹形式會形成暗能量，此舉令全世界學者震撼。在2003 年，微波背景各向異性探測器天文觀測儀器精準的測量出了宇宙學參數A，其結果在一定程度上驗證了宇宙大體包括23%的暗物質與77%左右的暗能量這一理論[2]。此科研理論具有重大意義，所以在當年該觀測成果就被雜志《science》評選位列十大科學排行榜上的第一名。暗物質和暗能量逐漸成為熱門研究對象，探索時空本質具有重大的意義。廣義相對論理論認為天體就是一個黑洞。愛因斯坦[3]也提到時間和空間會因為物質存在產生彎曲現象。而黑洞所產生的引力場因其質量增大而增大，從而表現出任何物質都會被困入其中，難以逃脫。這幾十年以來，理論物理學家們重點開展了黑洞的熱力學研究工作，希望深入了解黑洞的量子特性。

本文就前人對具有Quintessence 背景的Schwarzschild 黑洞（Quintessence 黑洞）的量子隧穿過程和痕跡分析成果進行進一步總結和分享，具有一定的理論意義。

1 黑洞熱力學四定律

20 世紀70 年代初期，有物理學家B，Carter 和D.C.Robinson[4]認為，無論是什么黑洞，它的總質量M，總角動量J 和總電荷Q 三個基本量都可以決定其最終性質。黑洞的無毛定理由此產生。在之后的研究過程中，物理學家以普通熱力學四定律為基礎，得到了黑洞熱力學四定律：黑洞熱力學第零定律，第一定律，第二定律，第三定律。

黑洞的第零定律：指穩態黑洞界面上表面重力k 是一成不變的常數，其揭示的本質含義是處于熱平衡系統的各個點溫度都是一樣的。

黑洞的第一定律：指黑洞的總質量M，總角動量J，總電荷量Q 等參數一直波動，類比于熱力學第一定律，在此狀況下滿足能量守恒關系

黑洞第二定律：指黑洞面積永遠不會比之前的面積小。（順時針方向）δA≥0

黑洞第三定律：指無法通過有限次數的操作把黑洞視界位置的表面重力k 值降低到零。

2 Quintessence 黑洞 量子隧穿效應

在20 世紀70 年代早期，霍金[5]由計算發現黑洞的熱輻射，并且能將溫度的表達式計算出來。兩年以后，霍金再次提出，這種純熱輻射沒有任何信息。黑洞所攜帶的任何信息會隨著黑洞的蒸發而喪失。

顯然，此結論有悖量子力學基本理論。在2000 年，黑洞無質量粒子的量子隧穿輻射被毛利克帕里克[6]和弗蘭克威爾澤克[7]兩位學者利用量子隧穿方法去研究。結果發現黑洞的霍金輻射并非純熱譜。因此彌補了霍金輻射的不足，并提及由于自重而提供了量子隧穿勢壘。

于是，大家便嘗試著通過量子隧穿方法計算Schwarzschild黑洞的熵校正并得出黑洞殘骸的表達式。

2.1Quintessence 黑洞

Quintessence 隸屬于暗能量模型 Kiselev 計算出了著名的度規公式，其中狀態參數滿足條件-1

黑洞的視界半徑由下式制約：

ε 約等于0，之后計算得出了公式

把（5）代入（4）式后，Quintessence 黑洞視界半徑如下

若要想分析Quintessence 黑洞量子隧穿軌跡，務必要將視界處坐標奇異性影響排除。所以我們進行Painleve 坐標變換。

其微分形式是

所以線元（2）式可化為

將dr2 之前系數定為1，得到

因此我們得出了以下公式

此公式是Quintessence 黑洞的時空線公式

入射粒子的背景時空線元[8]選定“-”號去匹配,出射粒子的背景時空線元選定“+”號去相匹配。據此，徑向類光測地線方程如下：

（13）的正負號各自代表類光粒子射入與射出類光測地線

2.2 黑洞事件視界處的勢全貫穿

依據能量守恒定律，當把時空的總能量固定住并且可以使得黑洞上升和下降時，此刻的黑洞時空線元如下式所示

考慮自引力效應，得出類光出射測地線方程

基于WKB 法則，作用量虛部S 跟粒子貫穿勢壘發生概率的大小兩者之間具有如下關系

在此把ri，rf 看作勢壘中的轉折點，粒子能量大小決定了勢壘轉折點之間的距離間隔。因為積分計算過于復雜，此刻我們務必把Hamilton 方程考慮在內：

由于輻射后，H=M-ω，所以dH=d（-ω'）

結合（16）

先對ω 積分，令u=2（M-ω'），則du=-2dω'于是有

再對r 積分，可得

從而有

因此粒子的出射率可表示成以下公式

以上公式達到了幺正性的要求

2.3 宇宙視界處的勢壘貫穿

如果在宇宙視界內出現了隧道效應,粒子質量將從M增加到M+。考慮到能量守恒，將得到宇宙視界入射能量ω'粒子的時空線元

與（20）式和（21）式類似，可得

出射率如下式

Schwarzschild 黑洞量子隧穿出射率可用（29）式表示

由黑洞的霍金輻射機理可知[9]，黑洞在時時刻刻向外輻射能量。在滿足能量守恒定律時，由（16）式可知，作用量虛部S 跟粒子貫穿勢壘發生概率Γ 的大小兩者之間滿足

Γ（ωT）代表黑洞輻射一個質量為ωT的粒子的隧穿幾率

ΔST=ST-s（未輻射粒子前黑洞的熵），可得Γ（ωT）-eΔstΓ（ω1）代表黑洞輻射一個質量為ω1的粒子隧穿幾率，同理ΔS1=S1-S 但在輻射一個質量為ω1的粒子后，接連著輻射另一個質量為ω2粒子，此時隧穿幾率記為Γ（ω2|ω1），令其熵變為ΔS2=S2-S1可得Γ（ω2|ω1）～eΔS2；把黑洞在視界處輻射一個質量為ω1的粒子之后再輻射另一個質量為ω2的粒子總過程的隧穿幾率記為Γ（ω1|ω2）其熵變為ΔS12=S2-S1得Γ（ω1|ω2）-eAs12那么根據能量守恒和熵守恒，AωT=ΔS12=ΔS1+ΔS2ωT=ω1+ω2則有

這個關系即為“一毛”假設公式。推廣到眾多粒子，

假定這么一個過程，黑洞蒸發進程中的所有熵都是以持續輻射發射的方式消失，故依照能量守恒，熵守恒定律[10]，存在這樣的關系

粒子在隧穿的過程中時，有式

粒子穿越視界出射率可用如下公式表示（Quintessence 黑洞量子隧穿歷程）

于是得到Quintessence 黑洞的嫡表達式為

因此Quintessence 黑洞量子隧穿幾率大小如下所示

設rh為黑洞的視界半徑，在輻射質量為ω1粒子過后，黑洞的視界半徑變發生變動，變換成r1。

粒子的隧穿幾率如下

同理

公式中的rc 表示黑洞遺跡半徑。把式（39）代入到（33）式中去，可計算出黑洞的輻射進程損失總熵

在上文計算中，我們做了這么一個假定，即黑洞殘留物是確實存在的，那么如果黑洞殘留物沒有存在，則Mc=0，rc=0，（32）式和（40）式的熵是發散的。

給出了通過對數校正獲得隧穿概率的可能性，以獲得黑洞殘跡的存在[11]，并且把黑洞的“零點”能量用M來表示。式（40）可以如下變換；

由此看出黑洞視界處的熵和黑洞遺跡熵兩者相加得到了黑洞損失的總熵值

3 結論

本文借助 Parikh-Wilczek 的量子隧穿方法來對Quintessence 黑洞的量子隧穿過程進行研究，來得出Quintessence 黑洞熵的表達式。這也表明黑洞的霍金輻射是非純熱譜并且是向外輻射的[12]。Schwarzschild 黑洞的熵校便是通過此方法計算得出。

本文也借助文獻討論了Quintessence 黑洞的蒸發速率[13]，進行了關于黑洞熵的對數校正，顯示黑洞不會完全蒸發。最終探討Schwarzschild 黑洞的熵是受到Quintessence 的暗能量影響程度。

Quintessence 黑洞視界半徑如下：

黑洞在輻射進程中損失的總熵如下式：

在此基礎上把（42）中的結果帶到（43），可得到

這樣就可以得到Quintessence 暗能量對Schwarzschild 黑洞熵所做的貢獻