源于課本　追本溯源　變本加“利”

劉興月

【摘要】文章從2019年全國高考數學課標卷試題出發，追溯高考數學試題源于課本之“源”，探究高于課本之“高”，闡述高考數學試題源于課本而又高于課本的命題原則，堅定高考數學復習備考要“緊扣考綱、立足課本”的道路自信;引導教師和學生集中精力踏踏實實研究教科書，做名副其實的“教書匠”和“讀書郎”。

【關鍵詞】源于;高于;追溯;課本

眾所周知，在現行的高中教學中，普通高中課程標準是制定普通高考考試大綱和指導教科書編寫及教學實施的指導性標準。其中，考試大綱是高考命題的依據，高考試題源于課本，教科書是高考命題的材料源。

然而，在實際的教學活動中，或者拋棄教材，或者輕視教材，或者照本宣科等做法比比皆是。

如何在數學教學及高考復習中，堅持“立足課本、回歸教材、追本溯源”的教學理念和復習方法，我們需要認真研究。

一、以本為本，源于課本

所謂“源”，即源頭、來源，一般指水流發源的地方，引申為起始之地。

高考試題源于教科書，是指高考試題的源頭在教科書中，是指高考試題由教科書中的例題、練習題、復習題經過組合、改造和創新而來，兩者具有相同的“DNA”，而不是簡單地把教科書中的例題、練習題、復習題原封不動地拿來做高考試題。一道數學題，總是有明確的試題背景，已知條件和求解目標，考查內容及對數學知識、數學能力和數學思想方法的考查要求。

高考試題與教科書中的習題之間如果有相同的考查內容和對數學知識、數學能力和數學思想方法的考查要求，那么就可以說它們具有相同的“DNA”。也就是說，高考試題源于教科書。

【例1】（教科書必修（5）103頁復習參考題A組第2題）

已知集合，，求.

【例1-1】（2019年全國Ⅰ卷理科第1題）

已知集合，，則（? ? ?）

A.? B.? C.? D.

【例1-2】（2019年全國Ⅱ卷理科第1題）

設集合，，則? （? ? ? ? ）

A.? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ?D.

【例1-3】（2019年全國Ⅲ卷文科第1題、理科第1題）

已知集合，，則（? ? ? ）

A.? ? ? ?B.? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? D.

教科書上的復習題與2019年全國卷中的試題比較，它們都是以考查集合的運算為背景，有著相同的求解目標，突出考查一元二次不等式的解法、集合的交集運算，重點考查運算求解能力和化歸與轉化的思想方法;不同之處是已知條件中表示集合的不等式不同，試題的題型不同。

不等式的解集與集合的運算，內在的本質聯系就是集合，所以考查集合運算的試題往往由教科書必修（1）第一章集合與函數概念與必修（5）第三章不等式的習題組合而成。

【啟示一】數學知識間的內在聯系才是高考試題源于教科之“源”。所以，回歸課本要追本溯源，要挖掘各部分知識在各自發展過程中的縱向聯系以及各部分知識之間的橫向聯系。

幾道試題，如果它們有著共同的考查內容和要求，那就稱它們具有相同的根和源。

二、高于課本，追本溯源

高考試題不是簡單地照抄教科書上的習題，而是以教科書上習題的考查內容與要求為源，按照“出活題、考基礎、考能力”的命題原則，對教科書上習題的背景、已知條件及求解結果進行組合、改造、創新而成。

【例2】（2019年全國Ⅲ卷文科第15題、理科第15題）

設、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若△為等腰三角形，則的坐標為? ? ? ? ?.

我們通過對該試題的解答來進行【考點透析】。

【考點透析】

設位于第一象限的點………（考查數形結合的思想方法）

由已知及橢圓性質得：，，………（考查橢圓的幾何性質）

由，故…………（考查運算求解能力）

又，，故……（考查橢圓的標準方程及其幾何性質）

又△為等腰三角形，根據對稱性，△的兩腰只能為和，所以…（考查邏輯推理能力）

所以……………（考查函數與方程的思想方法）

解得（舍去），（舍去）

所以的坐標為……………（考查運算求解能力）

從考點透析可看出該試題對知識、能力和思想的考查要求是：

1.考查的知識：橢圓的標準方程及其性質;

2.考查的能力：邏輯推理能力及運算求解能力;

3.考查的思想方法：函數與方程及數形結合的思想方法。

再看該試題的解題思路與策略：

引入點的坐標…………………………………以坐標為橋梁

以性質為基礎，將形轉化為數………………構建方程（一）

以圖形的幾何性質定形，將形轉化為數……構建方程（二）

將共有的幾何形轉化為數………………………構建方程組

用代數方法解決幾何問題…………………………解方程組

求得方程組的解………………………數形結合回答問題

因此，以坐標為橋梁 將形轉化為數構建曲線方程? ? ? 解方程或方程組。用代數方法通過研究方程解決幾何圖形的問題，這種數形結合相互轉化的過程就是此試題的解題思想和策略。

【例2-1】（教科書選修2-1第49頁復習參考題中的A組第6題）

已知點是橢圓上的一點，且以點及焦點、為頂點的三角形面積等于1，求點的坐標.

試題背景：橢圓.

已知條件：

1.橢圓的標準方程;

2.動點的運動軌跡;

3.動點與兩焦點組成;

4.△的面積為1.

求解目標：點P的坐標.

比較例2與例2-1不難發現，兩試題的試題背景（橢圓）及考查內容及要求不變，相同之處即源于教科書之“源”，不同之處在于對“源”材料進行了如下加工改造：

1.橢圓的標準方程;

2.表示動點的字母由變為;

3.動點的運動軌跡及范圍，在橢圓上運動，在上但限于第一象限;

4.橢圓上的動點與橢圓的兩焦點構成三角形的性質及大小：一個是等腰三角形，一個的面積為1;

5.改換題型，一個是填空題，一個是解答題。

不同之處才是源于課本而又高于課本之“高”。而無論怎樣加工改造，同根同源的試題都有著相同的解題思路與策略，這就是多題一解的根本原因。

【啟示二】高考試題雖然高于課本，但它畢竟源于課本，萬變不離其宗。我們只要立足課本，牢牢抓住課本習題的考查內容及要求，熟練應用“源”習題的解題思路與策略，就能夠舉一反三，靈活解答試題。

三、立足課本，變本加“利”

認識世界的目的是為了更好地改造世界。我們需要的不僅是認識到高考試題源于課本而又高于課本，還要學會登“高”。

在保持試題“DNA”不變的情況下，命題者出了以下試題。

【例2-2】（2019年全國Ⅲ卷文科第10題）

已知是雙曲線上的一個焦點，點在上，為坐標原點，若，則的面積為（? ? ? ）

A. ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ?C. ? ? ?D.

【例2-3】（2019年全國Ⅲ卷理科第10題）

雙曲線的右焦點為，點在的一條漸近線上，為坐標原點.若，則△的面積為（? ? ? ）

A. B. ? ? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? ? D.

比較它們的差異，就可以看出命題者是怎樣“改造世界”的。

1.改變試題背景。例2-2及例2-3都將試題背景由橢圓變為雙曲線，但都是圓錐曲線，可謂異曲同工。

2.改變動點的運動軌跡。例2-2中的動點在雙曲線上;例2-3中的動點在雙曲線的一條漸近線上。

3.變已知條件為求解目標。“源”中例2-1的△的面積為1是已知條件，而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的求解目標是△的面積。

4.改變三角形三個頂點的位置，組成不同的三角形。“源”中例2-1的動點與兩焦點組成三角形△;而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的三角形是由動點、雙曲線的右焦點及坐標原點組成。

5.改變三角形性質的表達方式。“源”中例2-1的△是等腰三角形，而高于“源”的高考試題例2-2及例2-3的三角形，雖然表達方式變成PO|—|PF|，其實仍然是等腰三角形。

【啟示三】高考命題始終堅持“穩中求變，變中求新”的命題理念，“穩”即穩在試題的源頭教科書，“變”則是永恒的，但萬變不離其宗。所以，以本為本，回歸課本，必須扎扎實實深入研究教科書，充分發揮教科書的多種效應。

【探究】

1.如果把試題背景改為拋物線：拋物線，焦點為，坐標原點為.

2.動點在上運動.

3.則動點、焦點、坐標原點構成△（或構造其他三角形）.

4.再對△的特點做不同設計：如等腰、等邊或直角三角形，或給定△的面積，或求△面積的最大值.

5.按4的不同設計，求動點的坐標.

6.對上述中的與兩個參數，又可給定其中一個求另外一個.

如果讓學生動手參與探究，并且提出問題：

1.動點在拋物線的準線上運動呢？

2.動點還可以和哪兩個點組成三角形？

3.動點能不能和哪些點組成四邊形？

充分調動并發揮學生的想象，就會創造出不同的試題。

【啟示四】教科書是課程標準的具體體現，是學生獲取書本知識的主渠道，是教師實施教學的基石，是師生間進行建設性對話的文本和材料，是高考命題取之不盡、用之不竭的源泉。

要挖掘各部分數學知識在各自發展中的縱向聯系和知識之間的橫向聯系，構建數學知識網絡，通過分類、梳理、綜合， 講清、講透、講活數學基本知識、基本技能和基本的思想方法。

要注重對教材中的重要例題和習題所反映的相關數學理論本質屬性的研究，從中提煉出所蘊藏的數學重要思維方法和思想精髓，并對這類數學問題進行類比、延伸、遷移和拓展，從而更加有效地鞏固基礎知識，發展數學能力，提升學生的數學素養。

【參考文獻】

教育部考試中心.2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱正式公布：理科數學[EB/OL].（2019-01-31）.http：//gaokao.eol.cn/gkdg/jiedu/201901/t20190131_1643892.shtml.