淺談初中數學分類討論思想

黃國云

摘要：分類討論思想實際上是一種化整為零、分別對待、各個擊破的思維方式在數學解題中的體現。是一種弱化問題，強化條件，以退為進的策略，簡化了原問題的難度。

關鍵詞：分類討論思想;整合突破

在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的;有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究;還有些問題的已知量是含參形式給出的，因為參數的取值不同必然會影響問題的結論。我們將問題分解成幾個相互獨立的子問題來處理，最后綜合這些子問題的解答，得到對整個原問題的解答。這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想稱之為分類討論思想。分類討論思想是數學解題中的一種重要的解題方法，對培養學生的思維能力的綜合性、探索性、條理性具有重要的作用。

在教學過程中，教師可以根據中學生邏輯思維的特征，有意識的對需要用分類討論思想解決的數學問題進行適當的歸類，對各類型分類問題進行探究，歸納。則有可能突破分類討論這一教學重難點。筆者在本文中歸納說明幾種常見的分類討論的熱點類型，以供參考。

1 含參變量根據數學定義而進行的分類討論

例：若關于x的方程mx2m-1+（m-1）x-2=0是一元一次方程，則m為 。

分析：根據一元一次方程的定義，含一個未知數，未知數的次數是1次的整式方程是一元一次方程。因含參變量m的取值會導致不同的結果的產生，因此所求解的問題分三種情況討論：①x的指數2m-1=1，解得m=1;②x的指數2m-1=0，解得m=0.5;③未知數x的系數m=0。

2 在實數的計算中的分類討論

例：若x2=4則x= ;若| x |=4，則x= 。

在實數計算中，絕對值，平方根等問題，經常要分類討論。

3 因動點位置不確定而產生的分類討論

例：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm ，AC=20cm，點P從頂點A沿AB以3cm/s的速度向點B運動，同時點Q從點C沿CA以5cm/s的速度向點A運動，當△APQ是等腰三角形時，求運動時間t的值。

分析：因雙動點P、Q位置不確定產生等腰的三種情況：

①AP=AQ;②當QP=QA;③AP=PQ。還可以把原題進行如下變式：

變式1：當△APQ直角三角形，求運動時間t的值。

變式2：當△APQ與△ABC相似時，求運動時間t的值。

4 與等腰三角形有關的分類討論

4.1 與角有關的分類討論

例：已知等腰三角形中一個角的度數為40°，則底角的度數為 。

分析：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況

求解：①當頂角為40°時，底角的度數是70°;②當底角為40°時，頂角的度數是100°。

4.2 與邊有關的分類討論

例：等腰三角形一邊長9cm，另一邊長4cm，它的第三邊是多少？

分析：這里的“一邊”可以是等腰三角形的腰，也可以是底。分兩類情況討論：①當底為9時，三邊長為4，4，9，∵4+4<9，∴不能構成三角形;②當腰長為9時，三邊長為9，9，4，滿足三角形三邊關系，第三邊長為9。

通過這個問題，進一步說明對分類討論的結果要根據相關的定理，進行正確取舍，整合出原問題的答案。

5 與直角三角形有關的分類討論

例：在直角三角形ABC中，若2AB=AC，則cosC= 。

分析：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這需要根據實際情況討論;當然，在不知哪個角是直角時，有關角的問題也需要先討論后求解.本題中，較長邊AC可以是直角邊，也可以是斜邊，所以分兩類情況討論。

①當AC是直角邊時，cosC=AC∶BC=2∶

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;②當AC是斜邊時，cosC=BC：AC= 2：

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6 點與圓的位置關系不確定的分類討論

例：平面上，有一個點到與已知圓各點所連的所有線段中，最短為6cm，最長為9cm，則該圓的半徑為 。

分析：點在圓內，還是點在圓外不明確，所以需要分類討論：①當這個點在圓外時，該圓的半徑為（9-6）÷2=1.5cm;②當這個點在圓內時，該圓的半徑為（9+6） ÷2=7.5cm.故答案為：1.5厘米或7.5厘米.

分類討論是一種數學思想，更是一種邏輯思維習慣，屬于綜合性比較強的問題，難度比較大。想突破分類討論問題難點，需要我們在教學過程中需要不斷滲透分類討論的思想，循序漸進地通過解決一些典型的常見的分類問題中，給學生足夠思考的空間，抓住圖形的特征及圖形的變換，體會分類的原因，明確分類的標準，感悟分類基本原則----不重復，不遺漏。培養正確的分類技巧，并會對結果進行合理整合，逐步引導，不斷歸納，才能提高學生的數學思維能力，提升學生的數學素養。

參考文獻：

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[2] 殷曼曼.厘清分類，正確討論[J].中學數學教學參考（下旬），2019.

[3] 陳長明.平面幾何分類討論問題探源[J].中學數學教學參考（下旬），2019（09）.

（作者單位：福建省羅源第三中學）