帶線性紅利的非齊次復合Poisson風險模型

韓孟云

(河海大學理學院，南京 200098)

風險理論是當前精算學界和數學界研究的熱門課題。自古典的風險模型被提出后，許多研究人員對此進行了推廣，以使其更符合保險公司的實際經營情況。但很多研究只考慮了索賠到達的復合齊次泊松過程，并沒有考慮資金的時間價值以及投資收益等其他資金活動的影響，這具有一定的局限性。

近幾年來，大量文獻對經典風險模型進行了研究，并取得了有關破產概率方面的結果［1－3］。經典風險模型是假設保險公司按照單位時間常數速率(每張保單的保費為常數c)，但任何風險事業都是在隨機環境中進行的，因此，保費收取過程應是一隨機過程。文獻［4－6］利用Poisson過程對此進行了研究，文獻［7］又把線性紅利因素引入了風險模型。本文在文獻［7］的基礎上把索賠過程推廣為非齊次復合泊松風險模型，使得模型更貼近實際。

1 模型的建立

定義1 設 u≥0，給定概率空間(Ω，F，P)，t≥0。令

對模型(1)作如下假設:

1){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}是均值分別為 λ，μ 的非負獨立同分布隨機變量序列，其分布函數分別為F(x)，H(x)。

2){M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}分別是參數為 A(t)、B(t)的非齊次泊松過程。

3){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}，{M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}相互獨立。

定義2 設定一個線性紅利界限z=b+qt，其中b為初值(u≤b)，q為遞增速率(0＜q＜ λ2μ2)，只要盈余在紅利界限以下，便不發放紅利，若盈余在紅利界限以上，每單位時間發放λA(t)－q的紅利，直至下一次索賠發生，于是有如下關系式:

定義3 保險公司最終破產概率ψ(a，b)=P{T＜∞，R(0)=u};T=min{t:t≥0且R(t)＜0}表示破產概率。

定義4 令

2 主要結果

由文獻［2］中式(3.(6.3))可知，只要 ν(z，，t)滿足式(4)，它便為一鞅。

定理1 當dR(t)=dS1(t)－dS2(t)時，滿足式(5)的 ν(z，t)能使 ν(R(t)，t)為一鞅。

由此可知ν(R(t)，t)只要滿足式(5)它便滿足式(4)，就為一鞅。所以在帶線性紅利的非齊次Poisson風險模型中，要找 ν(z，t)使得 ν(R(t)，t)為一鞅，ν(z，t)只要滿足:

這樣，轉而尋找這樣一個函數，使得方程(6)所有的z和t皆成立，并滿足

即為滿足式(6)和(8)的ν(z，t)，其中R是方程

的非平凡正解，S為方程

的唯一正解。

3 最終破產概率

定理2 在帶線性紅利的非齊次復合Poisson過程下的最終破產概率為

證明 假設T為破產時刻，對固定的時刻t，可證得TΛt是有界停時，利用有界停時定理知，由式(9)所確定的鞅{ν(R(t)，t)}有

將ν代入式(16)即得到式(12)，至此得出了帶線性紅利的非齊次復合Poisson風險模型的破產概率上界。

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