單管及雙管駐波特性的探究

蔡妍 蘇波 李雯玥 宗洋 王福合

摘? 要：為研究駐波的物理特性，采取了單管駐波模式，通過(guò)加入微小顆粒使波形具像化，驗(yàn)證了駐波能量不流動(dòng)的物理特性，并且運(yùn)用此特點(diǎn)測(cè)量了聲速。然后再以單一波形管模型為基礎(chǔ)進(jìn)行延伸，研究歸納了垂直雙管模式下兩列波疊加的波形規(guī)律，借助Mathematica軟件對(duì)圖像進(jìn)行分析和處理，得到了理論與實(shí)驗(yàn)完全一致的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：駐波;單管;十字雙管

Abstract： In order to study the physical characteristics of standing wave， a single tube standing wave mode was adopted. The wave was immobilized by adding tiny particles， which verified the physical characteristics of standing wave energy immobility and measured the speed of sound. Then， on the basis of the single waveform tube model， the superposition of two waves in the vertical double-tube mode is studied and summarized， and the image is analyzed and processed by Mathematica software， and the theoretical and experimental results are completely consistent.

1 概述

駐波是頻率相同、傳輸方向相反的兩列波，沿傳輸線形成的一種分布狀態(tài)，其中的一個(gè)波通常是另一個(gè)波的反射波[1]。研究駐波的形式有很多[2-6]，為了研究更多的物理特性，實(shí)驗(yàn)首先采取了單管駐波的模式，通過(guò)加入微小顆粒使波形具像化，以便研究者觀察[7，8]。在實(shí)驗(yàn)初期將波形管橫向或直立放置，并進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，通過(guò)不斷調(diào)整頻率觀察管內(nèi)波形的具體變化，運(yùn)用波動(dòng)方程對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行解釋說(shuō)明[9，10]，驗(yàn)證了駐波能量不流動(dòng)的物理特性。同時(shí)運(yùn)用單管模型完成對(duì)于聲速的測(cè)量。以單一波形管模型為基礎(chǔ)進(jìn)行延伸，采取最為特殊的十字模型來(lái)研究?jī)闪旭v波的疊加問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，合理推論，發(fā)現(xiàn)了十字模型情況下兩列波疊加的波形規(guī)律，借助Mathematica軟件對(duì)圖像進(jìn)行分析和處理，得到了理論與實(shí)際完全一致的結(jié)論。

2 單管駐波波形可視化以及聲速測(cè)量

2.1 實(shí)驗(yàn)原理

本實(shí)驗(yàn)儀器如圖1所示，一個(gè)橫向放置的有機(jī)玻璃管，一端連接一個(gè)可調(diào)頻率的發(fā)聲喇叭，另一端是一個(gè)位置可調(diào)節(jié)的封閉面，在管內(nèi)放置了大量的小顆粒泡沫。實(shí)驗(yàn)時(shí)，不斷地調(diào)節(jié)喇叭的激勵(lì)頻率，當(dāng)管的長(zhǎng)度為駐波半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，管內(nèi)將產(chǎn)生聲駐波，與此同時(shí)小顆粒泡沫會(huì)移動(dòng)到駐波的波腹，從而呈現(xiàn)出一個(gè)清晰的可視化的駐波波形[11]。

在本實(shí)驗(yàn)中，聲強(qiáng)的波動(dòng)方程為：

由于是要研究圓柱管內(nèi)的駐波場(chǎng)，所以利用柱坐標(biāo)系求解波動(dòng)方程滿足此邊界條件下的駐波解。經(jīng)過(guò)一系列地求解，此管內(nèi)聲強(qiáng)為（1）式本征振動(dòng)解的線性疊加：

可根據(jù)聲學(xué)的疊加原理求解本征振動(dòng)解和其相應(yīng)的陣速。實(shí)驗(yàn)時(shí)，有機(jī)玻璃管中的小顆粒泡沫會(huì)集中在陣速最大的地方，其會(huì)被從聲壓高的地方推向聲壓低的地方，即由駐波的波節(jié)處移動(dòng)到駐波的波腹處，故可以借由小顆粒泡沫組成一個(gè)可視化的駐波波形。本實(shí)驗(yàn)不僅使駐波可視化，同時(shí)也研究了駐波能量不流動(dòng)性的特性，并且可運(yùn)用此特點(diǎn)測(cè)量聲速[12]。

2.2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

小顆粒泡沫清晰呈現(xiàn)了駐波的波形，每?jī)蓚€(gè)小顆粒泡沫堆峰值間的距離y滿足：

進(jìn)一步觀察，泡沫小球在駐波波節(jié)之間出現(xiàn)如圖2所示垂直于z軸的片狀精細(xì)結(jié)構(gòu)。通過(guò)上述求解，可以觀察到除了主波之外，還有最低一級(jí)的高次波模式存在。仔細(xì)觀察在單管中的片狀精細(xì)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)各質(zhì)點(diǎn)都沿豎直方向作上下振動(dòng)，在這之中越靠近中心處其振速越大。

產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是，由于在單管中除了有主波模式還有高階聲駐波的存在。當(dāng)發(fā)生喇叭開啟后，單管中的聲駐波趨于穩(wěn)定，泡沫小球會(huì)根據(jù)振速分布集中在駐波結(jié)點(diǎn)之間，形成一個(gè)可視化的駐波波形。由于除了主波模式，還有高階波模式的存在，所以單管中主波模式將疊加在高階波模式上，形成了如圖2所示的周期性環(huán)狀同步振動(dòng)。因此泡沫小球會(huì)按照?qǐng)D2所示集中在振動(dòng)速度最高的區(qū)域中，但小泡沫還受到重力的影響，所以圓管內(nèi)就出現(xiàn)了如圖1所示，泡沫小球集中在駐波結(jié)點(diǎn)之間，并且在垂直于z軸的方向上輕微顫動(dòng)，呈現(xiàn)出位置固定的片狀精細(xì)結(jié)構(gòu)。

2.3 聲速測(cè)量數(shù)據(jù)及分析

表1為聲速的測(cè)量數(shù)據(jù)，在本實(shí)驗(yàn)中，標(biāo)準(zhǔn)駐波的波速為345.0m/s，而實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)的平均值為341.1m/s，與標(biāo)準(zhǔn)值的相對(duì)誤差為1.1%，在誤差允許范圍內(nèi)，證明了其可視化測(cè)聲速的可行性。

3 雙管駐波的疊加

在研究了單管的駐波特性后，又繼續(xù)探究了雙管駐波的疊加特性。比較常見的雙管為十字四通管，其示意圖如圖3所示。實(shí)驗(yàn)器材為在中心垂直交叉的有機(jī)玻璃管，其中兩端封閉，另外兩端連接兩個(gè)可以調(diào)頻率的發(fā)聲喇叭。在四通管的中心處固定了一個(gè)壓電陶瓷傳感器，并與示波器相連，在信號(hào)發(fā)生器的驅(qū)動(dòng)下，兩個(gè)喇叭發(fā)出的聲波在管內(nèi)相干疊加，由壓電陶瓷傳感器進(jìn)行信號(hào)采集，最后在示波器上對(duì)疊加形成的圖像進(jìn)行顯示和測(cè)量，實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

為了探尋雙管的駐波疊加是否有規(guī)律性變化，實(shí)驗(yàn)固定一根管頻率（f1=578.73Hz）為形成駐波的頻率，然后不斷增加另一根管的頻率f2，記錄幅值電壓，數(shù)據(jù)如表2所示，然后進(jìn)行繪圖，如圖5所示。觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩列波頻率相同或成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，幅值往往出現(xiàn)高值點(diǎn)，對(duì)于此現(xiàn)象筆者展開了進(jìn)一步研究。

3.1 實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)波的疊加原理，當(dāng)介質(zhì)中同時(shí)存在幾列波時(shí)，每列波都能保持各自的傳播規(guī)律而不相互干擾。在波的重疊區(qū)域里，各點(diǎn)振動(dòng)的物理量等于各列波在該點(diǎn)引起的物理量的矢量和。

根據(jù)駐波方程可得到兩列頻率為k倍的駐波疊加所形成的波的振動(dòng)方程：

由于2Acos為定值不會(huì)影響變化規(guī)律，故運(yùn)用Mathematica軟件繪制k分別為1，2，3，4，5時(shí)（cos？棕t+cosk？棕t）的理論圖像，其結(jié)果如圖6所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

在四通管中，把其中一根管稱為A管，把另一根管稱為B管。在現(xiàn)實(shí)的研究過(guò)程中，通過(guò)改變信號(hào)發(fā)生器頻率調(diào)整發(fā)生喇叭的頻率，使A管內(nèi)形成駐波。由于兩根管的管長(zhǎng)相等且完全對(duì)稱，故當(dāng)B管頻率為A管頻率的整數(shù)倍時(shí)，B管中也形成了駐波。調(diào)整信號(hào)發(fā)生器，使管內(nèi)形成兩列頻率為整數(shù)倍關(guān)系的駐波疊加，用壓電陶瓷片接收并通過(guò)示波器觀察。圖7為兩管頻率分別為1～5倍時(shí)，從示波器上觀察到的圖像。

3.3 實(shí)驗(yàn)總結(jié)

通過(guò)把實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論圖像進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)值與理論圖像完全一致。當(dāng)k不斷增加時(shí)，通過(guò)示波器觀察波形，發(fā)現(xiàn)k越大，波形越密。可以猜想，當(dāng)k取更大值的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)與理論波形一樣有規(guī)律的變化現(xiàn)象。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩列頻率為整數(shù)倍的關(guān)系時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出完全區(qū)別于行波疊加的特征，其表現(xiàn)為隨著兩列波的倍數(shù)k的增加，其疊加波有規(guī)律的變密。

4 結(jié)束語(yǔ)

該實(shí)驗(yàn)通過(guò)自制的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對(duì)駐波的物理特性進(jìn)行了多方面的研究。運(yùn)用單管駐波模型將駐波波形具像化，精確測(cè)量了聲速;合理解釋了圓柱管內(nèi)的駐波場(chǎng)對(duì)駐波波形的影響，完成對(duì)于駐波能量不流動(dòng)的特性研究。借助現(xiàn)在應(yīng)用廣泛的Mathematica軟件，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理，得到十字管內(nèi)兩列駐波疊加的波形模型，與實(shí)驗(yàn)真實(shí)所測(cè)結(jié)果完全符合。

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