球拍底板特性對乒乓球運動軌跡的影響

李 江，李 春，謝用民，李 根

(1.黔南民族職業技術學院，云南 貴州 558022；2.上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093；3.貴州經貿職業技術學院，云南 貴州 558022)

由于賽璐珞乒乓球存在隱患，國際乒聯在2013年5月通過決議：2014年7月1日起，包括公開賽及總決賽在內的重大國際比賽都將使用新型塑料乒乓球。至此，有著120多年歷史的賽璐珞球退出歷史舞臺[1]。器材的革新，勢必引起乒乓球運動特性的改變和運動員技、戰術的調整。同時，由于乒乓球拍是比賽中最重要的器材之一，新尺寸與新材料乒乓球的應用對球拍的結構和性能提出了新的要求。因此，乒乓運動也必將迎來一次大變革浪潮[2]。

王奇志的文章[3]改進了運動學模型的算法，考慮了空氣阻力對乒乓球飛行速度的影響，將速度作為動態反饋參數，并采用OPENGL的3D仿真平臺進行直觀分析并預測軌跡，結果表明算法具有較高的準確性。Nonomura J等學者[4]通過乒乓球的對稱性特征，將其表面一半的面積劃分為九個區域，忽略飛行過程中旋轉速度的影響，確定了升阻力系數，分析了球體碰撞和空氣動力學特性，為乒乓球機器人預測乒乓球運動軌跡提供了理論基礎。Nakashima A等學者[5]通過開發飛行旋轉球實時測量方法，基于明確的球體運動物理模型建立了機器人乒乓球擊球系統；通過設定球拍的仰角和擊球的發射角度，求得了碰撞發生后球體的空氣動力學特性、球拍回彈方向和機器人揮拍速度；通過與實驗數據的對比，驗證了該方法的有效性。

本文采用無網格格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann Method，LBM)對乒乓球三維非定常流場進行求解，采用粒子和具有完整拉格朗日函數的方法對格子Boltzmann-BGK方程和不可壓縮的Navier-Stokes方程進行求解，研究了碰撞發生時彈性恢復系數對乒乓球運動軌跡的影響，分析乒乓球運動軌跡及運動參數隨時間變化曲線，并且通過乒乓球運動過程中的瞬態流場細微結構得到影響球體運動諸參數的流動機理。

1 理論基礎

1.1 恢復系數

恢復系數是表征碰撞時物體變形恢復能力的參數，其定義為碰撞前后兩物體接觸點法向相對分離速度與法向相對接近速度之比。只與碰撞物體的材料有關。恢復系數越大，碰撞后恢復能力越強。

恢復系數可用下式表示：

e=(u2n-u1n)/(v2n-v1n)

(1)

式中，u1n和u2n為兩物體碰撞后速度沿碰撞面法向的投影；v1n和v2n為兩物體碰撞前速度沿碰撞面法向的投影[6]。

1.2 無網格方法

無網格方法(meshfree method)是基于點的近似構造形函數(trial function)而不需要考慮節點間的關聯方式，是科學和工程計算的一種新的數值模擬方法。在塑性材料模擬中，材料出現較大變形，傳統有限元無網格方法無法保持網格的連通性，可能會出現模擬錯誤的問題。無網格方法構造形函數與有限元法等基于網格形成形函數不同，可將模擬對象的動力學屬性賦予給節點，而不需再分配給網格元素。因此，建立求解方程的方法可以和有限元法達到一樣的效果[7]。

1.3 格子Boltzmann方法

格子Boltzmann方法以介觀動理學模型為基礎，通過求解描述粒子運動的方程從而獲得宏觀信息，包括：速度、壓力以及溫度等。式(2)為Boltzmann方程[8]。

fi(r+eiδt,t+δt)-fi(r,t)=Si(r,t)

(2)

式中，r為自封閉系統內格子的一個格點；ei為流體第i個粒子的離散速度集合；δt為離散時間步長；t為當前時間步；fi是以速度ei運動的速度分布函數；Si(r,t)為碰撞算子項，表示分子碰撞對速度分布函數的影響[9]。

2 參數和建模

圖1為乒乓球的計算域，其尺寸為：3.5×1.5×2.5 m。由于研究的對象為乒乓球的彈性恢復系數，將乒乓球拍簡化為長方體板，對計算結果不會造成任何影響。外圍流場求解尺度為0.1 m，尾跡加密尺度為12.5 mm，乒乓球邊界求解尺度為6.25 mm，球拍表面求解尺度為12.5 mm。仿真計算條件：仿真環境溫度取t=30 ℃，空氣密度ρ=1.165 kg/m3，動力黏度μ=1.86·10-5Pa·s，乒乓球直徑D=40 mm，乒乓球質量為2.7 g，重力加速度為9.81 m/s2。乒乓球在x軸方向(長度方向)的速度vx=6.0 m·s-1，在y軸方向(高度方向)的速度vy=0 m·s-1，在z軸方向(寬度方向)vz=0 m·s-1；乒乓球轉速：ωx=ωy=0 rad·s-1，ωz=80 rad·s-1，乒乓球初始位置(0，0.2，0.7)m。計算截止時間取t=0.3 s。

根據論文乒乓球拍底板特性碰撞動力學分析計算可得：純木底板材料的碰撞恢復力系數e1=0.596；碳素底板材料的碰撞恢復力系數e2=0.715。

圖1 計算域

3 結果與分析

圖2為四種不同彈性恢復系數的乒乓球運動軌跡圖。其中，e1=0.596和e2=0.715分別為純木底板和碳素底板的彈性恢復系數。

圖2 乒乓球軌跡圖

由圖2可知：四種工況下的乒乓球與球拍碰撞之前軌跡完全相同；碰撞發生后，乒乓球軌跡在y軸方向產生較大偏差，即彈性恢復系數越大，碰撞后軌跡終點線越高。其中，球與純木底板(e1=0.596)和碳素底板(e2=0.715)碰撞后軌跡終點線分別為(1.66540，0.03409)和(1.66288，0.05596)，以乒乓球半徑為基準，e1=0.596與e2=0.715軌跡x軸方向偏差為0.15%，在y軸方向偏差為39.07%。

圖3為乒乓球運動過程中速度隨時間變化圖，圖4為乒乓球運動過程中旋轉速度隨時間變化圖。

圖3 球運動過程中y軸速度隨時間變化圖

圖4 球運動過程中x軸旋轉速度隨時間變化圖

圖3及圖4表明乒乓球沿y軸的運動速度和x軸的旋轉速度在運動過程中隨時間變化而變化，各方向運動速度及旋轉速度變化趨勢相同，但數值有較大的差別。x軸球體前進方向速度數值因受到空氣阻力作用在運動過程中逐漸減小，與桌面碰撞后速度發生突降；y軸運動速度因重力及Magnus作用力等多重作用力綜合作用在運動過程中先減小后增大，在與桌面碰撞后乒乓球速度方向瞬時發生變化，并產生一定的速度損失；z軸運動速度有較小的變化，與桌面碰撞時三者速度都會發生突變。

四種工況下，乒乓球旋轉速度在碰撞前，變化趨勢完全相同；碰撞發生后，各軸旋轉速度均發生突變。由x軸旋轉速度圖可得，彈性恢復系數不同時，旋轉速度的方向和大小變化較為明顯，即彈性恢復系數對球體運動過程中旋轉速度的影響較大。

4 結論

(1)四種工況下的乒乓球與球拍碰撞之前軌跡相同；碰撞發生后，乒乓球軌跡y軸方向產生較大偏差，即彈性恢復系數越大，碰撞后軌跡終點線越高。

(2)球與純木底板和碳素底板碰撞后反射角度分別為e1=0.596時為25°，e2=0.715為26.8°，彈性恢復系數越大，碰撞后反射角度越大。彈性恢復系數對球體運動過程中運動速度和旋轉速度影響較大。