函數(shù)有唯一零點問題

李富春

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

函數(shù)有唯一零點問題是導(dǎo)數(shù)中的一類重要問題，這類問題涉及的知識點多，綜合性強，解法靈活且多種多樣，所以學(xué)生在解答這類問題時，常常會不知從何入手.為此，本文通過歸納、總結(jié)，給出函數(shù)有唯一零點問題的求解方法，拋磚引玉，希望對同學(xué)們有所啟示和幫助.

一、函數(shù)有唯一零點，求函數(shù)中參數(shù)的值

1.利用函數(shù)圖象的軸對稱性

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有唯一零點，且其圖象關(guān)于直線x=m對稱，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的唯一零點為m.

例1 (2017年高考全國卷Ⅲ·文12理11)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=( ).

解析因為f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)+a(ex+e-x)=x2-1+a(ex+e-x)，

評注此題直接求導(dǎo)、分離參數(shù)、分離函數(shù)都非常難求解，甚至幾乎解答不出來.

2.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點等價于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點.

從而a=g(4)?a=5ln2-4.

評注若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點x0，且f(a)f(b)>0，則x0是其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間[a，b]上的極值點.此題利用此導(dǎo)數(shù)性質(zhì)也可快速獲解.

3.利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點x0，且f(a)f(b)>0，則x0是其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間[a，b]上的極值點.

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=aex-2sinx，x∈[0，π]有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為( ).

評注此題利用分離參數(shù)法也可快速獲解.

二、函數(shù)有唯一零點，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

1.利用數(shù)形結(jié)合法

通過求導(dǎo)，零點存在性定理與數(shù)形結(jié)合法相結(jié)合，判斷出函數(shù)圖象的走向.

例4 (2014年高考全國卷Ⅰ·文12理11)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是

A.(2，+∞) B.(-∞，-2)

C.(1，+∞) D.(-∞，-1)

2.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點等價于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點.

例5已知函數(shù)f(x)=aln2x-e2x/e有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____.

3.利用分離函數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)-h(x)在區(qū)間D上有唯一零點等價于函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的圖象在區(qū)間D上有唯一交點.

A.[-1，0]∪[1，+∞) B.(-∞，-1]∪[0，1]

C.[-1，1] D.(-∞，-1)∪[1，+∞)

三、函數(shù)有唯一零點，求零點

1.利用函數(shù)圖象的中心對稱性性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上有唯一零點，且其圖象關(guān)于點(a，0)對稱，又函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的唯一零點為a.

因為函數(shù)f(x-1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于點(0，0)對稱，從而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-1，0)對稱.

從而函數(shù)f(x)僅有唯一零點-1，即函數(shù)f(x)的零點為-1.

2.利用解方程法

函數(shù)y=f(x)的零點等價于方程f(x)=0的實數(shù)根.

3.利用湊法

有時，利用上述方法都不能解決求函數(shù)的零點問題，就觀察函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征或方程的結(jié)構(gòu)特征，然后湊值.

例9函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點為____.

解析函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點等價于方程f(x)=0，即2xln2x-2x+1=0的實數(shù)根.

由2xln2x-2x+1=0，得e1-2-x=2x，由此湊出x=0.

故函數(shù)f(x)=2xln2x-2x+1的零點為1.

四、證明函數(shù)在區(qū)間D上有唯一零點

1.利用分離參數(shù)法

函數(shù)f(x)=g(x)+a在區(qū)間D上有唯一零點等價于函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-a的圖象在區(qū)間D上有唯一交點.

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個零點.

解析(1)略.

綜上所述，f(x)只有一個零點.

2.利用零點存在性性質(zhì)

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一零點.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；