一類抽象函數試題的命題手法探究

楊蒼洲 許銀伙

(1.福建省泉州第五中學 362000;2.福建省泉州外國語中學 362000)

從題設的結構展開聯想，一般可以順利構造出新函數，并使該新函數的導函數已知.但是，在尋找原函數的過程中卻遇到原函數不容易找出，甚至無法找出的麻煩.

那么，這類問題如何解決呢？下面我們來研究其解題方法和命題手法.

A．有極大值，無極小值

B．有極小值，無極大值

C．既有極大值又有極小值

D．既無極大值又無極小值

因此，當x>2時，h′(x)>0，h(x)單調遞增；當0

又h(2)=e2-2g(2)=e2-2[23×f(2)]=0，所以h(x)≥0，f′(x)≥0，故f(x)在(0,+∞)單調遞增.因此f(x)既無極大值，又無極小值，選D.

一、命題方法探究

結合對試題的解題手法的研究，筆者認為此類試題的命題方法如下，可分五步完成.

步驟一：設定兩函數f(x)，g(x)的關系.如，本題中設定g(x)=x3f(x).

步驟四：設定f(x)的單調性、極值情況.如，本題設定f(x)在(0,+∞)單調遞增.

現只需h(x)=ex-3g(x)恒大于等于0，下面研究函數h(x).

二、新題命制

根據對此類問題的命題手法的研究，筆者嘗試以此手法進行試題的命題創作：

首先，我們設定g(x)=x2f(x)，g′(x)=x2lnx.因此可得 [x2f(x)]′=x2lnx，即得xf′(x)+2f(x)=xlnx.

接著，我們來研究f(x)在(0,+∞)可能的單調性與最值情況，據此設置其他條件并進行選項的設定.

下面研究函數h(x)=x3lnx-2g(x)的情況，由h′(x)=3x2lnx+x2-2g′(x)=(lnx+1)x2.

整理可得試題如下.

A．f(x)在(0,+∞)上單調遞增

B．f(x)在(0,+∞)上單調遞減

答案：A.

一道新題的誕生，讓我們體驗了成功的喜悅，卻又意猶未盡.于是，我們讓思維再次揚帆起航，再次走進命題的世界.

接著，我們來研究f(x)在(0,+∞)可能的單調性與最值情況，據此設置其他條件并進行選項的設定.

由f(x)=g(x)·ex，得f′(x)=[g′(x)+g(x)]ex=[exlnx+g(x)]ex.

下面研究函數h(x)=exlnx+g(x)的情況.

又因為f′(x)與h(x)同號，現設定f′(1)=h(1)=0，此時g(1)=0，f(1)=0.

當x>1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；當0

整理可得試題如下.

新題2：設定義在(0,+∞)的連續可導的函數f(x)的導函數是f′(x)，且滿足f′(x)-f(x)=e2x·lnx，f(1)=0，則x>0時，( ).

A．f(x)在(0,+∞)上單調遞增

B．f(x)在(0,+∞)上單調遞減

C．f(x)有最小值0

D．f(x)有最大值0

答案：C