巧用換元法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義解一類壓軸題

紀(jì)定春 蔣紅珠

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068;2.廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

一、導(dǎo)數(shù)與不定式極限簡介

高考數(shù)學(xué)注重對基礎(chǔ)知識、基本概念及數(shù)學(xué)思想方法的考查.導(dǎo)數(shù)的定義是高中數(shù)學(xué)中重要的概念，是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，以導(dǎo)數(shù)的定義命題歷來受到高考數(shù)學(xué)命題者的青睞.目前，大部分高中數(shù)學(xué)教師并不重視對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，正如章建躍先生所講：“當(dāng)下的概念課教學(xué)多是一種走“形式化”的過程，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍.”這種以解題教學(xué)培養(yǎng)出來的學(xué)生，在考場上碰到用概念或定義來解決的試題將感到很困難.因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué).導(dǎo)數(shù)的定義是解決高考數(shù)學(xué)函數(shù)壓軸題中“不定式”極限的好方法，接下來將對導(dǎo)數(shù)的定義和不定式極限作簡單的介紹.

導(dǎo)數(shù)的定義簡介設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率為

這就是函數(shù)定義在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù).

不定式極限簡介若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

二、巧用換元法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義解高考壓軸題

1.在求參數(shù)值中的應(yīng)用

例1(2017年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅲ第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)略.

解析對問題(1)，要使f(x)≥0，等價(jià)于x-1-alnx≥0.

考慮分離參數(shù)a，顯然需要分類討論.

當(dāng)x=1時(shí)，有f(x)≥0，所以a∈R.

該極限顯然為一個(gè)“不定式”極限，考慮使用換元法，將該分式極限構(gòu)造成導(dǎo)數(shù)的定義來求解.

令lnx=y，顯然有x=ey.

考慮構(gòu)造函數(shù)g(y)=ey，則g(0)=1.

綜上，a的值為1.

評注該試題巧用換元的思想，將所求極限的分母lnx換成y，將所求極限的分母構(gòu)造出導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式，然后根據(jù)換元后的分母結(jié)構(gòu)，選擇函數(shù)g(y)=ey作為求導(dǎo)函數(shù)，這樣就將求“不定式”極限問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(y)在y=0處的導(dǎo)數(shù)問題.

2.在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用

例2(2010全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科卷第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析問題(1)略.

對于問題(2)，顯然可以使用參數(shù)分離法，故需要對x進(jìn)行分類討論.

當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立，故a∈R.

令h(x)=xex-2ex+x+2，可得h′(x)=xex-ex+1.

再對h′(x)求導(dǎo)數(shù)，可得h″(x)=xex.顯然，當(dāng)x>0時(shí)，h″(x)≥0.

所以h′(x)≥h′(0)=0，h(x)≥h(0)=0.

故有g(shù)′(x)≥0，則函數(shù)g(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增.

又令J(x)=ex，則有J(0)=1.

評注該試題兩次巧用換元法，將不定式極限轉(zhuǎn)化成可以求解的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu).通過第一次求導(dǎo)，將該極限的分母由平方變成了一次方，這和結(jié)構(gòu)顯然符合導(dǎo)數(shù)的定義.然后選取“J(x)=ex”作為函數(shù)，直接構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)的定義，將無法直接求極限的分式式“I′(y)”轉(zhuǎn)化為可求極限的整式結(jié)構(gòu)“ex”.這兩次構(gòu)造都充分的利用導(dǎo)數(shù)定義和換元的思想.

3.在求不等式恒成立中的應(yīng)用

該極限為“不定式”極限，分母為三次單項(xiàng)式，不能直接利用導(dǎo)數(shù)的定義，故考慮換元法，將分母換成導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu).

設(shè)J(w)=sinw，則有J(0)=0.

評注該試題多次使用換元法，將極限的分母換成一次單項(xiàng)式，這樣做是為了構(gòu)造出導(dǎo)數(shù)定義的分母結(jié)構(gòu)，然后逐次利用導(dǎo)數(shù)的定義，將分母的三次式逐漸降階，把不定式極限問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)整式的極限問題.可見，在該題中用換元法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義具有“降次”的作用，最終將所求極限的分母變成0次項(xiàng).

通過對上述試題的解析，可見導(dǎo)數(shù)的定義是解決高考函數(shù)壓軸題的強(qiáng)大工具.當(dāng)遇到不定式求極限問題，可以考慮使用換元法，將所求極限的分母換成導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)分母的結(jié)構(gòu)來構(gòu)造函數(shù)，分子函數(shù)的選擇要與分母的結(jié)構(gòu)相匹配，要讓構(gòu)造出來的結(jié)構(gòu)和導(dǎo)數(shù)的定義相吻合.對于上述例題，很多考生很難想到使用換元的方法，將求“不定式”的問題轉(zhuǎn)化成用導(dǎo)數(shù)的定義來解決.這表明，絕大部分高考考生對用導(dǎo)數(shù)的定義來解決“不定式”極限問題并不熟悉，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要強(qiáng)化對數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)，而不是走過場式的“形式化”學(xué)習(xí).