巧用課本例題結論解決一類切線問題

李昌成 陳 潔

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

在2001版人教版全日制普通高中數學教材第二冊上冊第75頁中有一個普普通通的例題，當然很難引起大家的重視，但是這道題卻蘊含著深邃的數學思想方法，在高考中經常大顯身手，很可惜一些同學并不知曉，更談不上靈活應用.

一、例題回顧

例題已知圓的方程是x2+y2=r2，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.答案是x0x+y0y=r2.解答比較簡單，此處從略.

二、結論推廣

例題中的切線方程可以看成把圓方程中的x2換成x0x，y2換成y0y，常數不變，得到的.推而廣之，對于圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)有下面結論：

三、結論應用

1.應用于求直線方程

(1)求橢圓E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分線l的方程；

(3)略.

評析使用結論解答此題有效避開了直線和橢圓聯立的二元二次繁雜運算，直接進入一元一次的運算，解答簡捷明快.

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處切線與直線AB平行，且AM⊥BM,求直線AB的方程.

解(1)易得直線AB的斜率為1.

評注結論讓動點M坐標快速明確化，減少變量，使題目難度下降，僅剩一個變量，利用方程的思想，待定直線AB的縱截距，題目得到完美解答.否則將陷入兩個變量，一個方程的僵局.

2.應用于求參數取值范圍

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；

評析從以上這道高考題的解答過程可以看出，恰當運用該切線結論使問題變得直觀形象，這個思路和解法也顯得簡潔明了，避開了純解析幾何復雜的轉化過程及繁雜運算，值得推廣.

3.應用于求軌跡方程

例4 過P(3,4) 作圓(x-1)2+y2=1 的切線，切點分別是A，B,求直線AB的方程.

解將圓(x-1)2+y2=1整理得x2+y2-2x=0.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則點A處該圓的切線為x1x+y1y-(x1+x)=0；點A處該圓的切線為x2x+y2y-(x2+x)=0.又因為P(3,4)在兩條切線上，所以3x1+4y1-(x1+3)=0；3x2+4y2-(x2+3)=0.所以直線AB的方程為3x+4y-(x+3)=0，即2x+4y+3=0.

評注結論免除了求切點之苦，大大地減少了運算，無形中也提高了準確率，前提是對直線中的變量和常數有深刻的認識并能靈活應用.

4.應用于求最值

例5 在拋物線y2=4x上求一點P，使得P到直線y=x+3的距離最短.

所以P(2,1)即為所求點.

評注本解法避開了直線代入曲線，再利用判別式建立不等式，解不等式的繁瑣運算，這樣處理直奔主題，方便易行.

5.應用于求定值

(1)求橢圓C的方程；

評注本解法使用結論達到了“一箭雙雕”的目的，自然生成切線，同時消元，充分有效利用了整體代換，定值躍然紙上.

課本的一些例題看似簡單，但是其內涵豐富，作用巨大，深入研究不僅可以發現一些簡便方法，而且提高解題的速度和準確率，提升學習的興趣，其樂無窮！