利用對數(shù)平均變形妙解極值點偏移問題

高振寧 徐加華

(山東省新泰市第一中學 271200)

筆者在研究極值點偏移問題時有兩個總結(jié)：(1)此類問題大都以ex或lnx為載體，(2)此類問題考生感覺計算量大且無從下手. 賴淑明老師發(fā)表的《從對數(shù)平均談極值點偏移問題》，提出了對極值點偏移問題的對數(shù)平均處理策略.筆者進行了深入研究，為什么賴老師講解的問題不論是含有ex項還是lnx項都必須轉(zhuǎn)成對數(shù)平均解決呢？本質(zhì)上指數(shù)與對數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)化的，能不能利用指數(shù)的形式來解決此類問題？

筆者試圖對賴老師的解決問題的方法進行一下改造.下面筆者就解決含有ex項的極值點偏移問題介紹一下自己的淺見，供大家參考.

一、極值點偏移問題的概括

二、極值點偏移的本質(zhì)

三、對數(shù)平均的定義與變形

兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義：

筆者試著對含有ex的極值點偏移問題用對數(shù)平均的變形式進行求解.對以下三道題目進行求證，獲得了以下過程.

四、對數(shù)平均變形的應用

例1設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點，且x1

(1)求a的取值范圍；

(3)略.

證明由(1)知x=lna是y=f(x)的極值點，a>e2且0

例2已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)略；

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時，x1+x2<0.

證明(1)略.(2)由(1)知y=f′(x)在R上遞減，且f′(0)=0.x=0是函數(shù)y=f(x)的極值點.y=f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增，在(0,+)上單調(diào)遞減.x1<00)則

?(x1+x2)[(x1-1)(x1-1)+2]<0

?x1+x2<0.

所以求證成立.

三道例題的成功轉(zhuǎn)化，驗證了含有ex的極值點偏移問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均變形式的可行性.至此，我們發(fā)現(xiàn)，利用對數(shù)平均變形式，是解決含有ex的極值點偏移問題解題一種最佳策略.

五、轉(zhuǎn)化關(guān)鍵

含有ex項極值點偏移問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵有如下幾步：

其實，解決極值點偏移問題的方法是多樣的、靈活的，實質(zhì)上都是解決兩個變元的不等式問題.文[1]中賴老師的解法是無論含ex項或lnx項的問題都向?qū)?shù)平均不等式轉(zhuǎn)化，但是實際上含有ex項極值點偏移問題，完全可以利用對數(shù)平均的變形式解決.利用對數(shù)平均還是對數(shù)平均變形式這兩種方法各有優(yōu)劣，不同的題目使用兩種方法的簡繁程度不一致，本文中例3用對數(shù)平均變形式的解法尋找x1,x2的相關(guān)結(jié)論計算量比較大，利用對數(shù)平均的難度在于合理等價變形.

至此，我們擁有了兩個不等式來解決極值點偏移的問題，含有ex項極值點偏移問題利用對數(shù)平均變形式解決，含有l(wèi)nx項極值點偏移問題用對數(shù)平均來解決.至于極值點偏移問題，用那種均值不等式更好，值得我們進一步作深入的研究.