一道最值問題的解題研究

劉顯海 汪應佳

(江西省贛州市南康區第三中學 341400)

一、問題來源

題目已知m,n∈R,m+2n=2，則m·2m+n·22n+1的最小值為____.

二、問題解決

1.第一次改造

首先將要求最小值的式子寫成整齊的對稱形式：m·2m+n·22n+1=m·2m+2n·22n=x·2x+y·2y，其中x=m,y=2n，滿足x+y=2.

這樣，我們就把原來的題目改寫成了一個等價的“新”題目：

變題1已知x,y∈R,x+y=2，則x·2x+y·2y的最小值為____.

下面給出基于“變題1”的兩種完全不同的解法.

解法1(運用對偶配對方法及排序不等式思想)

記A=x·2x+y·2y,B=x·2y+y·2x，則有：

A-B=x·2x+y·2y-x·2y-y·2x=(x-y)(2x-2y)≥0.②

解法2(消元化為一次函數求導法)

由x+y=2得y=2-x，則求最小值的式子即y=x·2x+(2-x)·22-x.觀察其結構易知函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，故下文的討論以x=1為臨界點來展開討論.

對函數求導，得：

f′(x)=[2x+x·2xln2]+[-22-x+(2-x)22-xln2·(-1)]

=(2x-22-x)+[x·2x-(2-x)·22-x]ln2.

(1)當x>1時，易知2x-22-x>0,x·2x-(2-x)22-x>0，所以f′(x)>0；

(2)當x<1時，易知2x-22-x<0,x·2x-(2-x)22-x<0，所以f′(x)<0；

(3)當x=1時，易知f′(x)=0.

注：(1)以上兩種解法充分利用了將問題改造后形成的對稱性，分別借助于對偶配對及消元求導方法，順利求出了最小值；

(2)以上兩種解法從某種意義上來說都不“簡單”，但無論如何，這兩種解法都還在高中生能夠接受的范圍內.

2.第二次改造

以下的三種解法是基于“從實數到非負實數”的思想進行改造.從題目出發我們進一步得出更多的有用信息，即：在條件x+y=2下，x·2x+y·2y的最小值必在x≥0且y≥0時取得.事實上，若不然，不妨設x<0，則y>2，因此：

x·2x+y·2y>x+(2-x)×4=8-3x>8.

而取x=0,y=2可得x·2x+y·2y=8，故可知最小值不可能在x<0時取得.由此，題目可以在“變題1”的基礎上進一步改造為：

變題2已知x+y=2，x≥0且y≥0，則x·2x+y·2y的最小值為____.

接下來的解法就直接考慮這一問題了.

解法3(凸函數及Jensen不等式法) 記f(x)=2x，易知其為凸函數，因此對于任意非負實數λ1,λ2，若λ1+λ2=1，則有：

λ1f(x1)+λ2f(x2)≥f(λ1x1+λ2x2).

應用上述不等式，可得：

由③和④，得：

解法4(另一個凸函數方法)記f(x)=x·2x，則f′(x)=2x+x·2xln2，f″(x)=2xln2+(2x+x·2xln2)ln2>0，故可知函數f(x)=x·2x為凸函數，所以

解法5(Lagrange乘數法)記f(x,y,λ)=x·2x+y·2y+λ(x+y-2)，則

fx=2x(xln2+1)+λ=0， ⑤

fy=2y(yln2+1)+λ=0， ⑥

fλ=x+y-2=0.⑦

因為2x(xln2+1)是遞增的，而由⑤和⑥兩式可得2x(xln2+1)=2y(yln2+1)，所以x=y.再結合⑦可得x=y=1，此即取得最小值的條件，代入計算易得最小值為4.

(2)嚴格來說，以上這三種解法都稱不上“初等”，因為分別借助了高等數學里的凸函數理論和多元函數求最值的Lagrange乘數法.但是，凸函數概念和Jensen不等式實際上早已是中學數學里的“常客”，例如高中數學教材《必修1》的復習題中曾兩次提到有關凸函數的不等式，而在各類考試中，更是不乏有關凸函數的不等式的身影.

三、題外話：能猜出答案嗎？

以上的兩次改造、五種解法都是以“解答題”的嚴格要求來解決這樣一個“填空題”，從數學所追求的的嚴謹性、邏輯性而言當然無可厚非.但是，作為一個考試中的一個“填空題”而言，上面的五種解法中的任何一種其實都是不太合適的.解法1、3確實簡易，卻太過巧妙，技巧過高；解法2、4、5計算量太大，求導、整理化簡難度不小.就題論題，從應試的角度看，我們難道真的需要花大把時間來解這樣一個“小題”嗎？其實，這個題目在改造為“變題1”后，就應該完全可以“猜出”而且“猜對”答案，注意條件“x,y∈R,x+y=2”和要求最小值的式子“x·2x+y·2y”都是關于兩個變量“x,y”完全對稱的，因此最小值必定在其相等時取得，因為對稱意味著兩者的地位完全相等.答案得以輕松“猜出”！