導數的應用
——三次函數的探究

于金燕

(新疆博州實驗中學 新疆 博樂 833400)

利用導數及二次函數的知識去研究三次函數的圖象，進一步利用導函數與原函數圖象間的關系來解決函數單調性、極值、最值、方程根的個數(圖象的交點個數)、和含參問題的討論.

1.知識梳理

定義:形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數叫做三次函數.

定義域R,值域R.

2. 基本應用

2.1 思考：導數研究函數單調性的依據是什么？

f′(x)>0?f(x)單調遞增；f′(x)<0?f(x)單調遞減

例題展示：例1、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(1)求函數的單調區間.

點評：三次函數單調性?求解導數(二次)不等式

2.2 例、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(2)求函數的極值.

點評：(1).f(x0)為極值?x0為y=f′(x)的變號零點

(2).函數單調性可以研究函數的極值

2.3 例、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(3)求函數在區間[0,2]上的最大值和最小值。

點評：(1).函數的最大值、最小值在極值或區間端點處取到；

(2).有了函數的極值可以求函數在閉區間上的最值。

2.4 例、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(4)根據前面得到的單調性和極值你能做出函數的草圖嗎？

2.5 例、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(5)請問函數f(x)=x3+3x2-9x+1有幾個零點？

點評：(1).有了函數的一些性質我們可以做出函數的草圖；

(2).有了函數的草圖我們就知道函數的零點情況。

2.6 例、已知函數f(x)=x3+3x2-9x+1，(6)求函數與函數y=a有幾個交點？

畫出函數f(x)=x3+3x2-9x+1的草圖與y=a的圖象，并觀察當參數變化時，兩個函數圖象交點個數的變化情況。

3.拓展升華

思考：當三次函數含有參數后，如何研究其單調性？

∴y′=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a)

(1)當a>0時，f(x)在(-∞，-3a)和(a,+∞)上單調遞增；

在(-3a,a)上單調遞減.

(2)當a=0時，f′(x)≥0,則f(x)在R上單調遞增.

(3)當a<0時，f(x)在(-∞，a)和(-3a,+∞)上單調遞增；

在(a,-3a)上單調遞減.

點評：因為導函數的根含有參數，所以不能確定兩根的大小，所以要先討論兩個根誰大誰小。

4.練習

點評：導數不能因式分解，所以利用求根公式，但是發現判別式符號不定，所以要討論判別式確定有根無根。

5.課堂小結

5.1 利用導數研究三次函數的圖象和性質。

5.2 三次函數含參的問題的討論。

6.作業布置

b.已知函數y=x3-ax，求它的單調區間;

三次函數是高中數學利用導數研究函數的一個重要內容，有著特殊的地位，現在已成為高考熱點之一，但教材中只是通過幾個例題對其圖像及性質進行較淺顯的介紹。因此，本人借助于導數探究三次函數的圖象，由圖像看性質，最后應用到高考中含參問題單調性的討論，使學生加深印象。本探究先易后難有過度，為今后解決其他含參問題，單調性的討論打下堅實的基礎。