基于CIR模型的數(shù)值模擬及設參保正對比分析

高世磊 李安琪 何佳璐 袁恒 張家銘

摘? ?要：隨機微分方程在金融數(shù)學中有很多應用，我們對用來分析利率的CIR模型進行了數(shù)值對比研究。我們分別對原方程用Euler算法的顯隱式格式、Milstein算法的顯式格式和對原方程進行變換后的格式以及應用分裂算法進行對比計算，主要對CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進行數(shù)值模擬，并比較三種格式的方差。最后研究了CIR模型各算法的保正性。

關鍵詞：CIR模型? Euler算法? Milstein算法? 分裂算法? 保正性

1? CIR模型簡介

在20世紀80年代中期，Cox、Ingersoll和Ross對一個簡單而又完備的經(jīng)濟體提出了一個時間連續(xù)的廣義均衡單因子模型，并且用它來檢驗資產(chǎn)價格的行為[1]。基于對利率期限結構的研究，建立了CIR模型，利率的隨機微分方程為一個單平方根過程：

其中回復速度α，長期均值μ和波動率σ均為常數(shù)參數(shù)。由上式可知，利率在長期均值μ附近上下波動，參數(shù)α表示利率回復到μ的速度，CIR模型將利率的波動設定為與利率水平的平方根成正比，波動率的方差會隨著利率本身的增大而增大。該模型對任意時刻s，t（s≤t），當已知s時刻的短期利率信息時，時刻t的瞬時短期利率服從非中心卡方分布。

CIR模型中通過設定波動率與利率的平方根成正比，使得短期利率具有非負性：當→0時，漂移項α（μ-）為正值，且擴散項σ逐漸趨近于零，表明利率的波動性也趨近于零，因此利率不會取到負值;當2αμ<σ2時，CIR過程可以達到零界限值，當2αμ≥σ2時，向上的漂移項足可以使得零界限值無法達到，嚴格為正[2]。

2? CIR模型的三類格式及數(shù)值模擬

本小節(jié)是對CIR模型利用各種方式得到的數(shù)值方法進行數(shù)值求解并進行統(tǒng)計性質的對比和對CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進行數(shù)值模擬。

2.1 第一類基本算法

2.3 分裂格式

2.4 參數(shù)賦值及統(tǒng)計特征

圖1數(shù)學期望圖：為簡化表達，對算法進行縮寫表示。以EF表示向前歐拉方法，以EB表示向后歐拉方法，以MIL表示Milstein方法，以TEF表示基于變換格式向前歐拉方法，以TEB表示基于變換格式向后歐拉方法，以SSM表示分裂步方法，此后圖中均以縮寫代表各方法。圖中是各數(shù)值模擬方法得到的數(shù)學期望，橫軸表示時間t且設置范圍[0，1]，縱軸表示各時間對應的期望值E（X（t））。

計算各方法得到數(shù)值解的方差：

圖2方差圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法得到的方差，橫軸表示時間t且設置范圍[0，1]，縱軸表示各數(shù)值模擬方法在時間t的方差。

分析上述期望、方差可知，采用的數(shù)值模擬方法有效，得到的CIR模型（1.1）的數(shù)值解唯一，在統(tǒng)計特征上表現(xiàn)為同期望、同方差。

3? 基于CIR模型算法的保正性及賦值分析

保正性在CIR模型的研究中是具有實際意義的，CIR模型主要描述短期利率的變化情況，利率在現(xiàn)實生活中的非負的;從CIR模型本身出發(fā)，在實數(shù)范圍內(nèi)，若為負數(shù)，模型擴散系數(shù)是沒有意義的。故CIR模型嚴格要求保正，繼而要求數(shù)值模擬時保正，則產(chǎn)生了對數(shù)值模擬方法保正性的研究需求。為解決數(shù)值模擬方法也就是相應的數(shù)值算法的保正性，需考慮兩方面的問題：（1）是否存在絕對保正的數(shù)值算法;（2）對于存在不保正現(xiàn)象的算法，是否在滿足某種條件下達到保正需要。基于這兩個問題，將對第二部分中論述的數(shù)值算法進行分類，選出絕對保正的算法，對條件保正的算法進行條件強弱的比較。

由于CIR模型方程：中a、b皆為常數(shù)，且設置參數(shù)時要求為非負數(shù)，故模型中確定性部分對迭代過程的保正性始終起著正作用，而對于隨機部分而言，白噪聲項為標準的布朗運動，且有，在數(shù)值模擬過程中，利用蒙特卡洛模擬思想，以正態(tài)分布隨機數(shù)模擬該隨機過程，故存在小于0的隨機數(shù)可能，使得模型隨機部分對迭代過程保正性起著負作用。顯然可知，首次出現(xiàn)負數(shù)只有一種情況，隨機部分為負數(shù)，且絕對值大于確定性部分即：。換個思路，倘若a、b的數(shù)量級遠大于是否就一定保正了呢？答案是肯定的，在要求a、b全為非負的前提下，令為0，則迭代過程中不可能出現(xiàn)負數(shù)的可能。這為研究絕對保正提供了一個思路，在的值遠大于a、b的情況下，倘若算法還具有保正性，就可以說明其具有絕對保正性或者說嚴格保正。

可知，存在一個充分小的實數(shù)，使得迭代過程一定保正，為探究各方法的保正性，不妨設置參數(shù)a=b=0，=5，初值，軌道數(shù)為1000，下表格為各迭代算法出現(xiàn)負數(shù)迭代步的軌道條數(shù)。

從上表可得，只有分裂方法對任意具有保正性。這是因為分裂方法利用卡方隨機數(shù)進行模擬，而卡方隨機數(shù)全為正數(shù)，故迭代步數(shù)值全為正數(shù)。

上述分析已經(jīng)提及，當足夠小時，數(shù)值模擬一定不會出現(xiàn)負數(shù)情況，即滿足模型保正性要求，因此條件保正是一定存在的。定性分析是a、b越大，越小則滿足保正性要求的可能性越大;定量分析是a、b、之間存在著某種關系時，算法在數(shù)值模擬中就一定保正。為進一步探究顯隱式Euler方法、Milstein方法在參數(shù)a、b、滿足什么條件下，會出現(xiàn)保正的情況，采用控制變量方法，單獨研究a、b中一個參數(shù)與的關系：

情況1、固定b=1，內(nèi)，發(fā)現(xiàn)各模擬方法中變量a與近似成正比。

圖3，a-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)a與成正比關系，其中參數(shù)a為自變量且設置范圍[0，5]，為因變量。

情況2、固定a=1，，繪制各模擬方法b與的曲線圖，發(fā)現(xiàn)b與在各模擬方法中不存在明顯的關系。

圖4 b-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)b與之間的關系，其中參數(shù)b為自變量且設置范圍[0，5]，為因變量，各方法間b-不呈現(xiàn)明顯的關系。

情況3、設，得到各模擬方法a，b，關系三維網(wǎng)格圖，分析各模擬方法的條件保正性。

圖5 a-b-網(wǎng)格圖：圖中為各數(shù)值模擬方法參數(shù)a、b、三者之間的關系圖，x軸為a，y軸為b，z軸為，其中參數(shù)a、b為自變量設置參數(shù)范圍皆為[0，1]，為自變量。

分析上圖可得：在曲面以下，算法保正，可知對任一平行于Z軸的直線，與曲面交點，Milstein方法的值最大，即根據(jù)值越小越保正的現(xiàn)象，Milstein方法在固定一組a、b值情況下，條件最弱。故Milstein算法的保正性最好，CIR方程變換格式的顯隱式Euler方法次之，CIR方程基礎格式的顯隱式Euler方法的保正性最差。

參考文獻

[1] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. An intertemporal general equilibrium model of asset prices，Econometrica，1985（53）：363-384.

[2] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. A theory of the term structure of interest rates，Econometrica，1985（53）：385-407.

[3] Kleoden P E，Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations[M]. Berlin：Spring-Verlag，1992.

[4] Milstein G N. Approximate Integration of Stochastic Differential Equation [J]. Theor Prob Appl，1974（19）：557-562.